Considere a equação de segunda ordem, que representa a distribuição de temperatura varia ao longo da parede de um cano metálico com raio interno R₁ e raio externo R₂:

Question

Sapien IA · Accepted Answer

Análise da Questão

A imagem apresentada contém o enunciado de um problema envolvendo uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem, aplicável à transferência de calor em regime estacionário em coordenadas radiais (parede cilíndrica).

Atenção: A imagem não exibe as alternativas de resposta (A, B, C, D, E) nem a pergunta final específica (ex: "Resolva a equação", "Encontre a solução geral"). Portanto, não é possível selecionar uma letra corretamente.

No entanto, abaixo apresento a resolução completa da equação, que corresponde à resposta esperada para este tipo de problema.

Resolução Matemática

O problema fornece a seguinte equação diferencial:

r \frac{d^2T}{dr^2} + \frac{dT}{dr} = 0

Esta é uma equação de segunda ordem, linear e homogênea. Para resolvê-la, utilizamos o método de redução de ordem.

Passo 1: Redução de Ordem

Fazemos uma substituição para transformar a equação de segunda ordem em uma de primeira ordem.
Seja $u = \frac{dT}{dr}$ (onde $u$ representa a derivada primeira de $T$ ).
Consequentemente, $\frac{du}{dr} = \frac{d^2T}{dr^2}$ .

Substituindo na equação original:

r \frac{du}{dr} + u = 0

Passo 2: Separação de Variáveis

Reorganizamos a equação para separar as variáveis $u$ e $r$ :

r \frac{du}{dr} = -u

\frac{du}{u} = -\frac{dr}{r}

Passo 3: Integração

Integramos ambos os lados da igualdade:

\int \frac{1}{u} du = -\int \frac{1}{r} dr

\ln|u| = -\ln|r| + C_1

Utilizando propriedades de logaritmos ( $-\ln x = \ln x^{-1}$ ), temos:

\ln|u| = \ln\left(\frac{1}{r}\right) + C_1

Exponenciando ambos os lados para isolar $u$ :

u = \frac{K_1}{r}

(Onde $K_1 = e^{C_1}$ é uma constante arbitrária).

Passo 4: Retornar à Variável Original

Lembramos que $u = \frac{dT}{dr}$ . Logo:

\frac{dT}{dr} = \frac{K_1}{r}

Para encontrar $T(r)$ , integramos novamente em relação a $r$ :

T(r) = \int \frac{K_1}{r} dr

T(r) = K_1 \ln(r) + K_2

## Solução Final

A solução geral da equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura é:

T(r) = C_1 \ln(r) + C_2

Onde $C_1$ e $C_2$ são constantes determinadas pelas condições de contorno (temperaturas nos raios interno $R_1$ e externo $R_2$ ).

Observação: Em problemas de transferência de calor em cilindros, esta solução indica que a temperatura varia logaritmicamente com o raio, diferentemente de paredes planas onde a variação é linear.

Explicação passo a passo

Resumo da resposta