Dada equação: (y cos(x) + 2xe^x) dx + (sin(x) + x²e^x - 1) dy = 0

Resolução da Questão de Equação Diferencial Exata

Esta é uma questão de cálculo envolvendo equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. O objetivo é classificar a equação como exata, encontrar sua solução geral e aplicar uma condição inicial para obter a solução particular.

Passo a Passo da Solução

1. Verificação de Exatidão (Item a)
Uma equação da forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é considerada exata se satisfizer a condição \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.

• Identificamos M(x, y) = y \cos(x) + 2x e^y
• Identificamos N(x, y) = \sin(x) + x^2 e^y - 1

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \cos(x) + 2x e^y
\frac{\partial N}{\partial x} = \cos(x) + 2x e^y

Como as derivadas são iguais, a equação é exata.

2. Determinação da Solução Geral (Item b)
Para resolver, procuramos uma função F(x, y) = C tal que suas derivadas parciais coincidam com M e N.

Integramos M em relação a x:
F(x, y) = \int (y \cos(x) + 2x e^y) dx = y \sin(x) + x^2 e^y + g(y)

Derivamos o resultado em relação a y e igualamos a N para achar g(y):
\frac{\partial F}{\partial y} = \sin(x) + x^2 e^y + g'(y) = \sin(x) + x^2 e^y - 1
Isolando g'(y):
g'(y) = -1 \Rightarrow g(y) = -y

Substituindo de volta, obtemos a solução geral:
y \sin(x) + x^2 e^y - y = C

3. Aplicação da Condição Inicial (Item c)
Utilizamos a condição y(0) = -2 para encontrar a constante C. Substituímos x=0 e y=-2 na solução geral:
(-2)\sin(0) + (0)^2 e^{-2} - (-2) = C
0 + 0 + 2 = C \Rightarrow C = 2

Portanto, a solução particular é:
y \sin(x) + x^2 e^y - y = 2

Analise

• Conceito Chave: Equação Diferencial Exata. Requer verificação de igualdade entre derivadas cruzadas (\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}).
• Técnica de Integração: Ao integrar parcialmente, é necessário adicionar uma função arbitrária da outra variável (ex: ao integrar em x, adiciona-se g(y)).
• Verificação: A derivação parcial serve como confirmação do processo de integração. Se \frac{\partial}{\partial y}(F_x) \neq N, houve erro nos cálculos.
• Constante de Integração: Na resolução de problemas com condições iniciais, a constante C só é determinada após substituir os valores dados no enunciado.

Conclusao

A questão foi resolvida demonstrando a propriedade de exatidão através das derivadas parciais, integrando os termos para formar a função potencial e aplicando a restrição inicial para fixar a constante específica. A resposta final representa a curva integral que passa pelo ponto (0, -2).