Resolva: Gada a equação diferencial: y² - 1. Verifique se a função y = 1 + e²x / 1 - e²x é solução da equação diferencial. Determine todas as soluções da equação diferencial xy' + 2y = 1. Determine uma solução da equação diferencial dy/dx = (x + y + 3)². Faça uma mudança variável: x + y + 3 = t

Resolução de Equações Diferenciais

Esta questão aborda três tipos clássicos de equações diferenciais: verificação de solução, equação linear de primeira ordem e equação substituível por mudança de variável. Abaixo, apresento a resolução detalhada de cada item.

Análise Detalhada

Item (a): Verificação de Solução

Para verificar se a função y = \frac{1 + e^{2x}}{1 - e^{2x}} satisfaz a equação y' = y^2 - 1, precisamos calcular a derivada da função e comparar com o lado direito da equação.

• Cálculo de y': Utilizando a regra do quociente \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}:
  y' = \frac{(2e^{2x})(1 - e^{2x}) - (1 + e^{2x})(-2e^{2x})}{(1 - e^{2x})^2}
  Simplificando o numerador:
  y' = \frac{2e^{2x} - 2e^{4x} + 2e^{2x} + 2e^{4x}}{(1 - e^{2x})^2} = \frac{4e^{2x}}{(1 - e^{2x})^2}
• Cálculo de y^2 - 1:
  y^2 - 1 = \left(\frac{1 + e^{2x}}{1 - e^{2x}}\right)^2 - 1 = \frac{(1 + e^{2x})^2 - (1 - e^{2x})^2}{(1 - e^{2x})^2}
  Expandindo os quadrados no numerador:
  (1 + 2e^{2x} + e^{4x}) - (1 - 2e^{2x} + e^{4x}) = 4e^{2x}
  Logo, y^2 - 1 = \frac{4e^{2x}}{(1 - e^{2x})^2}.
• Conclusão: Como y' = y^2 - 1, a função é solução da equação diferencial.

Item (b): Equação Linear

A equação xy' + 2y = 1 é uma equação linear de primeira ordem. Precisamos colocá-la na forma padrão y' + P(x)y = Q(x).

1. Padronização: Dividindo por x (considerando x \neq 0):
   y' + \frac{2}{x}y = \frac{1}{x}
2. Fator Integrante (I(x)):
   I(x) = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2
3. Solução Geral: Multiplicamos a equação padronizada por x^2:
   x^2 y' + 2xy = x \Rightarrow (x^2 y)' = x
   Integrando ambos os lados:
   x^2 y = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C
   Isolando y:
   y = \frac{1}{2} + \frac{C}{x^2}

Item (c): Mudança de Variável

A equação \frac{dy}{dx} = (x + y + 3)^2 não é separável diretamente, mas permite uma mudança de variável.

• Substituição: Seja t = x + y + 3. Derivando em relação a x:
  \frac{dt}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1
• Nova Equação: Substituindo na equação original:
  \frac{dt}{dx} - 1 = t^2 \Rightarrow \frac{dt}{dx} = t^2 + 1
• Separação de Variáveis:
  \frac{dt}{t^2 + 1} = dx
• Integração:
  \int \frac{dt}{t^2 + 1} = \int dx \Rightarrow \arctan(t) = x + C
• Isolamento de t:
  t = \tan(x + C)
• Retorno à Variável Original: Substituindo t = x + y + 3:
  x + y + 3 = \tan(x + C) \Rightarrow y = \tan(x + C) - x - 3

Conclusão

As respostas finais para cada item são:

• (a) A função é solução da equação diferencial.
• (b) A solução geral é y = \frac{1}{2} + \frac{C}{x^2}.
• (c) A solução é y = \tan(x + C) - x - 3.