Resolução de Equações Diferenciais
Esta questão aborda três tipos clássicos de equações diferenciais: verificação de solução, equação linear de primeira ordem e equação substituível por mudança de variável. Abaixo, apresento a resolução detalhada de cada item.
Análise Detalhada
Item (a): Verificação de Solução
Para verificar se a função $y = \frac{1 + e^{2x}}{1 - e^{2x}}$ satisfaz a equação $y' = y^2 - 1$, precisamos calcular a derivada da função e comparar com o lado direito da equação.
- Cálculo de $y'$: Utilizando a regra do quociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$$y' = \frac{(2e^{2x})(1 - e^{2x}) - (1 + e^{2x})(-2e^{2x})}{(1 - e^{2x})^2}$$
Simplificando o numerador:
$$y' = \frac{2e^{2x} - 2e^{4x} + 2e^{2x} + 2e^{4x}}{(1 - e^{2x})^2} = \frac{4e^{2x}}{(1 - e^{2x})^2}$$ - Cálculo de $y^2 - 1$:
$$y^2 - 1 = \left(\frac{1 + e^{2x}}{1 - e^{2x}}\right)^2 - 1 = \frac{(1 + e^{2x})^2 - (1 - e^{2x})^2}{(1 - e^{2x})^2}$$
Expandindo os quadrados no numerador:
$$(1 + 2e^{2x} + e^{4x}) - (1 - 2e^{2x} + e^{4x}) = 4e^{2x}$$
Logo, $y^2 - 1 = \frac{4e^{2x}}{(1 - e^{2x})^2}$. - Conclusão: Como $y' = y^2 - 1$, a função é solução da equação diferencial.
Item (b): Equação Linear
A equação $xy' + 2y = 1$ é uma equação linear de primeira ordem. Precisamos colocá-la na forma padrão $y' + P(x)y = Q(x)$.
- Padronização: Dividindo por $x$ (considerando $x \neq 0$):
$$y' + \frac{2}{x}y = \frac{1}{x}$$ - Fator Integrante ($I(x)$):
$$I(x) = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$$
- Solução Geral: Multiplicamos a equação padronizada por $x^2$:
$$x^2 y' + 2xy = x \Rightarrow (x^2 y)' = x$$
Integrando ambos os lados:
$$x^2 y = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C$$
Isolando $y$:
$$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{x^2}$$
Item (c): Mudança de Variável
A equação $\frac{dy}{dx} = (x + y + 3)^2$ não é separável diretamente, mas permite uma mudança de variável.
- Substituição: Seja $t = x + y + 3$. Derivando em relação a $x$:
$$\frac{dt}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$$ - Nova Equação: Substituindo na equação original:
$$\frac{dt}{dx} - 1 = t^2 \Rightarrow \frac{dt}{dx} = t^2 + 1$$ - Separação de Variáveis:
$$\frac{dt}{t^2 + 1} = dx$$ - Integração:
$$\int \frac{dt}{t^2 + 1} = \int dx \Rightarrow \arctan(t) = x + C$$ - Isolamento de $t$:
$$t = \tan(x + C)$$ - Retorno à Variável Original: Substituindo $t = x + y + 3$:
$$x + y + 3 = \tan(x + C) \Rightarrow y = \tan(x + C) - x - 3$$
Conclusão
As respostas finais para cada item são:
- (a) A função é solução da equação diferencial.
- (b) A solução geral é $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{x^2}$.
- (c) A solução é $y = \tan(x + C) - x - 3$.