Sabemos que as derivadas indicam a taxa de variação de uma determinada função. As derivadas parciais, por sua vez, indicam a taxa de variação entre variáveis distintas. Seja T(x, y, z) = x² - xy + z² a função que mede a temperatura em °C de um ponto em uma chapa de aço. Esse ponto P(x, y, z) possui as coordenadas x (largura) e y (altura) medidas em metros e z (tempo) em segundos. A partir dessas informações, avalie as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta.

Análise da Questão

Esta questão aborda o conceito de derivadas parciais, que medem a taxa de variação de uma função multivariável com respeito a uma única variável, mantendo as demais constantes.

1. Conceito de Derivada Parcial

Dada uma função $T(x, y, z)$:

• $\frac{\partial T}{\partial x}$: Variação em relação a $x$ (mantendo $y$ e $z$ fixos).
• $\frac{\partial T}{\partial y}$: Variação em relação a $y$ (mantendo $x$ e $z$ fixos).
• $\frac{\partial T}{\partial z}$: Variação em relação a $z$ (mantendo $x$ e $y$ fixos).

2. Cálculo das Derivadas

A função fornecida é $T(x, y, z) = x^2 - xy + z^2$. Vamos calcular as derivadas parciais:

• Em relação a $x$: Tratamos $y$ e $z$ como constantes.
  $$ \frac{\partial T}{\partial x} = 2x - y $$
• Em relação a $y$: Tratamos $x$ e $z$ como constantes.
  $$ \frac{\partial T}{\partial y} = -x $$
• Em relação a $z$: Tratamos $x$ e $y$ como constantes.
  $$ \frac{\partial T}{\partial z} = 2z $$

3. Avaliação dos Pontos

O ponto dado é $P(1, 3, 2)$, onde $x=1$, $y=3$ e $z=2$.

• Para a Alternativa C: Avaliamos $\frac{\partial T}{\partial z}$ no ponto $P$.
  $$ \frac{\partial T}{\partial z} = 2z \Rightarrow 2(2) = 4 $$
  O cálculo confirma que a derivada é 4. Isso representa a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo ($z$), mantendo a posição ($x, y$) fixa.
• Para a Alternativa D: Avaliamos $\frac{\partial T}{\partial y}$ no ponto $P$.
  $$ \frac{\partial T}{\partial y} = -x \Rightarrow -(1) = -1 $$
  O valor 12 apresentado na alternativa está incorreto.

## Analise das Alternativas

• A) Incorreta. A notação $\frac{\partial T}{\partial y}$ refere-se à variação em relação à altura ($y$), não à largura ($x$).
• B) Incorreta. A notação $\frac{\partial T}{\partial z}$ refere-se à variação em relação ao tempo ($z$), não à largura ($x$).
• C) Correta. O cálculo $\frac{\partial T}{\partial z} = 2z$ resulta em $4$ quando $z=2$. A descrição física ("variação da temperatura em relação ao tempo") está coerente com a variável $z$.
• D) Incorreta. O valor calculado para $\frac{\partial T}{\partial y}$ é $-1$, não $12$.

Conclusão

A alternativa correta é a C, pois ela apresenta corretamente tanto o cálculo da derivada parcial quanto a sua interpretação física no ponto especificado.

Alternativa C