Sabemos que as derivadas indicam a taxa de variação de uma determinada função. As derivadas parciais, por sua vez, indicam a taxa de variação entre variáveis distintas. Seja T(x, y, z) = x² - xy + z² a função que mede a temperatura em °C de um ponto em uma chapa de aço. Esse ponto P(x, y, z) possui as coordenadas x (largura) e y (altura) medidas em metros e z (tempo) em segundos. A partir dessas informações, avalie as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta.

Análise da Questão

Esta questão aborda o conceito de derivadas parciais, que medem a taxa de variação de uma função multivariável com respeito a uma única variável, mantendo as demais constantes.

1. Conceito de Derivada Parcial

Dada uma função T(x, y, z):

• \frac{\partial T}{\partial x}: Variação em relação a x (mantendo y e z fixos).
• \frac{\partial T}{\partial y}: Variação em relação a y (mantendo x e z fixos).
• \frac{\partial T}{\partial z}: Variação em relação a z (mantendo x e y fixos).

2. Cálculo das Derivadas

A função fornecida é T(x, y, z) = x^2 - xy + z^2. Vamos calcular as derivadas parciais:

• **Em relação a x$**: Tratamos $y e z como constantes.
  \frac{\partial T}{\partial x} = 2x - y
• **Em relação a y$**: Tratamos $x e z como constantes.
  \frac{\partial T}{\partial y} = -x
• **Em relação a z$**: Tratamos $x e y como constantes.
  \frac{\partial T}{\partial z} = 2z

3. Avaliação dos Pontos

O ponto dado é P(1, 3, 2), onde x=1, y=3 e z=2.

• Para a Alternativa C: Avaliamos \frac{\partial T}{\partial z} no ponto P.
  \frac{\partial T}{\partial z} = 2z \Rightarrow 2(2) = 4
  O cálculo confirma que a derivada é 4. Isso representa a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo (z), mantendo a posição (x, y) fixa.
• Para a Alternativa D: Avaliamos \frac{\partial T}{\partial y} no ponto P.
  \frac{\partial T}{\partial y} = -x \Rightarrow -(1) = -1
  O valor 12 apresentado na alternativa está incorreto.

## Analise das Alternativas

• A) Incorreta. A notação \frac{\partial T}{\partial y} refere-se à variação em relação à altura (y), não à largura (x).
• B) Incorreta. A notação \frac{\partial T}{\partial z} refere-se à variação em relação ao tempo (z), não à largura (x).
• C) Correta. O cálculo \frac{\partial T}{\partial z} = 2z resulta em $4$ quando z=2. A descrição física ("variação da temperatura em relação ao tempo") está coerente com a variável z.
• D) Incorreta. O valor calculado para \frac{\partial T}{\partial y} é -1, não $12$.

Conclusão

A alternativa correta é a C, pois ela apresenta corretamente tanto o cálculo da derivada parcial quanto a sua interpretação física no ponto especificado.

Alternativa C