Se f é contínua e ∫₀⁸ f(x) dx = 32, assinale a alternativa com a resposta correta para ∫₀⁴ f(2x) dx.

Question

Se f é contínua e ∫₀⁸ f(x) dx = 32, assinale a alternativa com a resposta correta para ∫₀⁴ f(2x) dx. A) 32 B) 16 C) 8 D) 24 E) 64

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Alternativa b 16 Introdução A questão envolve a resolução de uma integral definida com uma função composta, usando a técnica de substituição. Desenvolvimento Para calcular $ \int 0^4 f(2x) \, dx $ sabendo que $ \int 0^8 f(x) \, dx = 32 $, usamos a substituição $ u = 2x $. Então: $ du = 2dx $ ⇒ $ dx = \frac{du}{2} $. Os limites de integração se alteram: quando $ x = 0 $, $ u = 0 $; quando $ x = 4 $, $ u = 8 $. Análise Substituindo na integral, temos: $$ \int 0^4 f(2x) \, dx = \int 0^8 f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int 0^8 f(u) \, du $$ Como $ \int 0^8 f(x) \, dx = 32 $, substituímos: $$ \frac{1}{2} \cdot 32 = 16 $$ Conclusão O valor de $ \int 0^4 f(2x) \, dx $ é 16, portanto a alternativa correta é a b .

Explicação passo a passo

Introdução

Desenvolvimento

Análise

Conclusão

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