Alternativa D
Para encontrar o valor da constante k em uma função de densidade de probabilidade (FDP), devemos utilizar a propriedade fundamental de que a área total sob a curva deve ser igual a 1. Isso garante que a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis seja certa.
Matematicamente, isso significa que a integral da função no domínio definido deve resultar em 1. Como a função é zero fora do intervalo [0, 3], integramos apenas nesse intervalo.
Desenvolvimento
O processo de resolução envolve os seguintes passos:
- Condição de Normalização: \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1
- Aplicação ao problema: \int_{0}^{3} \left(\frac{x}{12} + k\right) \, dx = 1
- Cálculo da integral:
\left[ \frac{x^2}{24} + kx \right]_{0}^{3} = 1 - Substituição dos limites:
\left(\frac{3^2}{24} + 3k\right) - \left(\frac{0^2}{24} + 3(0)\right) = 1
\frac{9}{24} + 3k = 1 - Simplificação e resolução:
Reduzindo a fração \frac{9}{24} por 3, temos \frac{3}{8}.
\frac{3}{8} + 3k = 1
3k = 1 - \frac{3}{8}
3k = \frac{5}{8}
k = \frac{5}{24}
Portanto, o valor da constante k é 5/24.
Alternativa D.