Em um grupo de 500 pessoas, podemos afirmar que existe(m), com certeza:

Alternativa C

Para resolver este problema, aplicamos o Princípio da Casa dos Pombos (também conhecido como Princípio de Dirichlet). Este princípio estabelece que, se temos mais objetos do que recipientes, pelo menos um recipiente deve conter mais de um objeto.

No contexto da questão:

• Os objetos são as 500 pessoas.
• Os recipientes são os dias do ano, que totalizam 365 dias (considerando um ano comum).

Como o número de pessoas (500) é maior que o número de dias disponíveis (365), é impossível distribuir todas as datas de aniversário de forma única.

Justificativa Didática

Vamos analisar cada alternativa com base na lógica matemática:

• a) Incorreta. Não há garantia de que alguém tenha aniversário em fevereiro. É teoricamente possível (embora improvável) que todos tenham nascido em outros meses.
• b) Incorreta. Esta afirmação diz que existem duas pessoas com aniversários diferentes. Se imaginarmos um cenário extremo onde as 500 pessoas nasceram todas no mesmo dia, essa condição não seria verdadeira.
• c) Correta. Pelo Princípio da Casa dos Pombos, ao tentar colocar 500 itens em 365 caixas, obrigatoriamente teremos repetições.
  500 \text{ pessoas} > 365 \text{ dias} \Rightarrow \text{Pelo menos 2 pessoas compartilham o mesmo dia}
• d) Incorreta. Para garantir que três pessoas façam aniversário no mesmo dia, precisaríamos de mais pessoas. O cálculo máximo sem repetir três vezes seria distribuir 2 pessoas em cada dia do ano.
  365 \text{ dias} \times 2 \text{ pessoas/dia} = 730 \text{ pessoas}
  Como temos apenas 500 pessoas ($500 < 730$), não podemos garantir que haja 3 pessoas no mesmo dia.

Portanto, a única afirmação certa é que, no mínimo, duas pessoas têm o mesmo aniversário.