Suponha que Abel jogue ao mesmo tempo um dado de seis lados e outro é um número par e B o evento em que o resultado do dado de quatro lados é um número ímpar. Usando o espaço amostral dos resultados possíveis abaixo, responda às seguintes perguntas. Os eventos A e B são independentes?

Alternativa A - Sim, os eventos A e B são independentes.

Introdução ao Problema

Este exercício trata de probabilidade envolvendo dois experimentos aleatórios simultâneos: o lançamento de um dado de seis lados e um dado de quatro lados. Para determinar a independência entre os eventos, precisamos calcular as probabilidades individuais e a probabilidade conjunta.

Desenvolvimento do Cálculo

Para resolver, analisaremos cada evento separadamente antes de verificar a relação entre eles.

1. Calculando P(A)

O evento A ocorre quando o dado de seis lados resulta em um número par.

• Espaço amostral do dado de 6 lados: \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} (Total = 6)
• Resultados favoráveis (pares): \{2, 4, 6\} (Total = 3)
• A probabilidade é dada pela razão entre casos favoráveis e totais:
  P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

2. Calculando P(B)

O evento B ocorre quando o dado de quatro lados resulta em um número ímpar.

• Espaço amostral do dado de 4 lados: \{1, 2, 3, 4\} (Total = 4)
• Resultados favoráveis (ímpares): \{1, 3\} (Total = 2)
• A probabilidade é:
  P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

3. Calculando P(A \text{ e } B)

Esta é a probabilidade de ocorrerem ambos os eventos simultaneamente. Como os dados são físicos distintos, as chances se multiplicam.

• Total de combinações possíveis no espaço amostral global: $6 \times 4 = 24$.
• Combinações favoráveis (par no primeiro E ímpar no segundo): $3 \times 2 = 6$.
• A probabilidade conjunta é:
  P(A \cap B) = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}

## Análise da Independência

Dois eventos são considerados independentes se a probabilidade de ocorrerem juntos for igual ao produto de suas probabilidades individuais. A fórmula teste é:

Vamos aplicar os valores calculados:

• Lado esquerdo da equação: P(A \cap B) = \frac{1}{4}
• Lado direito da equação: \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Como os valores são idênticos, concluímos matematicamente que a ocorrência de um evento não interfere na probabilidade do outro.

Conclusão

Os cálculos confirmam que a intersecção dos eventos equivale exatamente ao produto das probabilidades individuais. Portanto, a afirmação correta é que sim, os eventos A e B são independentes.