Resolução da Questão de Probabilidade
Esta questão envolve uma Distribuição Binomial, onde temos um número fixo de tentativas independentes com duas possíveis outcomes (sucesso ou fracasso).
Dados do problema:
- Número de ensaios: n = 20 cartas
- Probabilidade de sucesso: p = 0,10 (10%)
- Variável aleatória: X = número de respostas
Fórmula da Distribuição Binomial
A probabilidade de obter exatamente k sucessos é dada por:
P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}
Onde \binom{n}{k} representa o coeficiente binomial (combinação simples).
## Análise Passo a Passo
1. Exatamente duas pessoas respondem (P(X = 2))
Aplicando os valores na fórmula:
P(X = 2) = \binom{20}{2} \times (0,10)^2 \times (0,90)^{18}
Cálculos:
| Elemento | Valor |
|---|
| \binom{20}{2} | \frac{20!}{2! \times 18!} = \frac{20 \times 19}{2} = 190 |
| (0,10)^2 | $0,01$ |
| (0,90)^{18} | \approx 0,1501 |
P(X = 2) = 190 \times 0,01 \times 0,1501 \approx 0,2852
Resultado: Aproximadamente 28,52%
2. Menos que quatro pessoas respondem (P(X < 4))
"Menos que 4" significa: X = 0, X = 1, X = 2 ou X = 3
P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
Tabela de cálculos:
| k | Cálculo | Resultado |
|---|
| 0 | \binom{20}{0} \times (0,10)^0 \times (0,90)^{20} | \approx 0,1216 |
| 1 | \binom{20}{1} \times (0,10)^1 \times (0,90)^{19} | \approx 0,2702 |
| 2 | \binom{20}{2} \times (0,10)^2 \times (0,90)^{18} | \approx 0,2852 |
| 3 | \binom{20}{3} \times (0,10)^3 \times (0,90)^{17} | \approx 0,1901 |
Somatório:
P(X < 4) = 0,1216 + 0,2702 + 0,2852 + 0,1901 = 0,8671
Resultado: Aproximadamente 86,71%
Conclusão
Os resultados são:
- Exatamente duas respostas: P(X = 2) \approx 0,2852 (28,52%)
- Menos que quatro respostas: P(X < 4) \approx 0,8671 (86,71%)
Pontos-chave para concursos:
- Identifique o tipo de distribuição: Quando há número fixo de tentativas independentes com dois resultados possíveis, use Binomial.
- Cuidado com "menos que": P(X < 4) inclui X = 0, 1, 2, 3 (não inclui o 4!).
- Use calculadora estatística: Para potências como (0,90)^{18}, é essencial usar calculadora.
- Verificação intuitiva: Com taxa de 10%, esperar-se-ia cerca de 2 respostas em média (n \times p = 20 \times 0,10 = 2), então probabilidades próximas de X=2 devem ser as maiores.