Resposta: Aproximadamente 97,59%
Introdução
Este é um problema clássico de distribuição normal, também conhecida como distribuição gaussiana ou curva de sino. Vamos calcular a probabilidade usando escores-z e tabelas da distribuição normal padrão.
Desenvolvimento
Passo 1: Identificar os dados do problema
| Variável | Valor | Significado |
|---|
| μ (média) | 150.000 km | Duração média dos motores |
| σ (desvio padrão) | 5.000 km | Variação em relação à média |
| X₁ | 140.000 km | Limite inferior |
| X₂ | 165.000 km | Limite superior |
Passo 2: Calcular os escores-z
A fórmula para padronizar é:
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
Para o limite inferior (140.000 km):
Z_1 = \frac{140.000 - 150.000}{5.000} = \frac{-10.000}{5.000} = -2
Para o limite superior (165.000 km):
Z_2 = \frac{165.000 - 150.000}{5.000} = \frac{15.000}{5.000} = 3
Passo 3: Consultar a tabela da distribuição normal
| Escore-Z | Probabilidade Acumulada |
|---|
| Z = -2 | 0,0228 (2,28%) |
| Z = 3 | 0,9987 (99,87%) |
Passo 4: Calcular a probabilidade entre os dois pontos
P(-2 < Z < 3) = P(Z < 3) - P(Z < -2)
P(-2 < Z < 3) = 0,9987 - 0,0228 = 0,9759
Convertendo para porcentagem:
0,9759 \times 100 = 97,59\%
Análise
- Interpretação: Cerca de 97,59% dos motores durarão entre 140.000km e 165.000km
- Regra empírica: Podemos verificar aproximadamente com a regra 68-95-99,7:
- Entre μ ± 1σ: ~68%
- Entre μ ± 2σ: ~95%
- Entre μ ± 3σ: ~99,7%
- Nosso intervalo vai de -2σ até +3σ, então esperamos algo próximo de 97,5%, o que confirma nosso cálculo
Conclusão
A probabilidade de um carro escolhido ao acaso ter um motor que dure entre 140.000km e 165.000km é de aproximadamente 97,59%.
Observação: Esta questão não apresentou alternativas de múltipla escolha visíveis. Caso haja opções disponíveis, verifique qual delas corresponde mais próximo deste valor calculado.