Uma prova consta de 35 questões do tipo múltipla escolha, com 5 opções cada uma, onde apenas uma opção é verdadeira. Um candidato que não sabe resolver nenhuma das questões vai respondê-las aleatoriamente. Ele sabe que as respostas certas das 35 questões estão distribuídas igualmente entre as opções A, B, C, D e E. Então, resolve marcar suas respostas seguindo este critério: escolher aleatoriamente 7 questões para marcar a opção A, outras 7 para a opção B, e assim sucessivamente. A probabilidade de ele acertar todas as questões é:

Alternativa D

Análise da Questão de Probabilidade

Esta questão envolve Probabilidade Combinatória, especificamente o cálculo de arranjos onde há itens repetidos. Vamos entender passo a passo como chegar à resposta.

1. Entendendo o Cenário

• Total de questões: 35
• Distribuição das respostas do candidato: Ele deve escolher exatamente 7 questões para marcar "A", 7 para "B", 7 para "C", 7 para "D" e 7 para "E".
• Condição de vitória: Para acertar todas, a distribuição escolhida pelo candidato deve ser idêntica à distribuição real das respostas corretas no gabarito.

2. Calculando o Espaço Amostral (Total de possibilidades)

Precisamos descobrir de quantas maneiras diferentes é possível distribuir essas 35 respostas respeitando a regra de 7 para cada letra. Isso é um problema de Permutação com Repetição.

A fórmula geral para permutação de n elementos, onde existem grupos de elementos iguais (n_1, n_2, \dots, n_k), é:
P_{n, n_1, n_2, \dots, n_k} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots \cdot n_k!}

Aplicando aos dados do problema:

• n = 35 (questões totais)
• Grupos de repetição: cinco grupos de 7 (letras A, B, C, D, E).

Substituindo na fórmula:
\text{Total de arranjos} = \frac{35!}{7! \cdot 7! \cdot 7! \cdot 7! \cdot 7!}

Como todos os denominadores são iguais a $7!$, podemos simplificar a escrita:
\text{Total de arranjos} = \frac{35!}{(7!)^5}

Isso significa que existem \frac{35!}{(7!)^5} combinações possíveis de respostas que o candidato poderia fazer seguindo a regra.

3. O Evento Favorável

O enunciado diz que as respostas certas também estão distribuídas igualmente (7 de cada). Como o candidato não sabe quais são, ele sorteia uma dessas combinações possíveis.

• Existe apenas 1 combinação específica que corresponde ao gabarito real.

Portanto, a probabilidade P é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis:

Ao inverter a fração, obtemos:
P = \frac{(7!)^5}{35!}

Conclusão

A alternativa que apresenta exatamente essa expressão matemática é a D.

Alternativa D.