Alternativa A
A questão descreve um cenário geométrico envolvendo um triângulo retângulo, onde o vértice superior (cesto do balão B) forma um ângulo de $90^\circ$ com os pontos de fixação no solo (A e C). A altura h corresponde à distância perpendicular do ponto B até a linha AC.
Para resolver este problema, utilizamos as Relações Métricas no Triângulo Retângulo.
Análise Geométrica
- Configuração do Triângulo:
- O triângulo ABC tem o ângulo em B igual a $90^\circ$.
- O segmento BH (comprimento h) é a altura relativa à hipotenusa.
- O segmento AB é um cateto com valor $40\sqrt{5}$ m.
- O segmento HC é a projeção ortogonal do cateto BC sobre a hipotenusa, valendo $20$ m.
- O segmento AH é a projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa (incógnita inicial).
- Determinando a projeção AH:
Aplicamos a primeira relação métrica: o quadrado de um cateto é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa total.
AB^2 = AH \cdot AC
Como AC = AH + HC, substituímos os valores conhecidos:
(40\sqrt{5})^2 = AH \cdot (AH + 20)
8000 = AH^2 + 20 \cdot AH
AH^2 + 20 \cdot AH - 8000 = 0
Resolvendo esta equação quadrática para encontrar AH:
- Delta (\Delta): $20^2 - 4(1)(-8000) = 32400$
- Raiz de \Delta: \sqrt{32400} = 180
- AH = \frac{-20 + 180}{2} = 80 m
- Calculando a altura h:
Agora aplicamos a relação da altura: o quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos na hipotenusa.
h^2 = AH \cdot HC
h^2 = 80 \cdot 20
h^2 = 1600
h = \sqrt{1600} = 40 \text{ m}
Conclusão
O cálculo confirma que a altura do cesto até o chão é de 40 metros.
Alternativa A