Alternativa D
Para resolver esta questão, precisamos analisar o comportamento da função original f(x) e comparar com as transformações sugeridas nas alternativas.
Análise da Função Original f(x)
A função dada é uma parábola voltada para cima:
f(x) = x^2 - 4x - 5
Podemos encontrar seus pontos principais:
- Raízes (onde corta o eixo x): Resolvendo x^2 - 4x - 5 = 0, temos (x-5)(x+1)=0. As raízes são x = -1 e x = 5.
- Vértice: O ponto mais baixo da parábola está em x_v = 2. O valor é f(2) = 2^2 - 4(2) - 5 = -9. Portanto, o vértice é V(2, -9).
Análise do Gráfico Fornecido
Observando a imagem do gráfico da função g(x), notamos características específicas:
- Existem dois picos locais (máximos) exatamente onde a função original era zero (x = -1 e x = 5).
- A altura desses picos parece ser 4 unidades acima do eixo x.
- Entre os picos, há uma curva que desce até um ponto mínimo próximo a x = 2, atingindo um valor negativo (aproximadamente -5).
Verificação das Alternativas
Vamos testar a alternativa D: g(x) = -|f(x)| + 4.
Esta expressão pode ser lida como:
- Tirar o valor absoluto de f(x), tornando todos os valores positivos.
- Multiplicar por -1, invertendo o sinal (tornando tudo negativo).
- Somar 4, deslocando o gráfico para cima.
Testando os pontos chave:
- Nos zeros de f(x) (x = -1 e x = 5):
|f(x)| = 0
g(x) = -0 + 4 = 4
Isso confirma que há picos de altura 4 nessas posições. - No vértice de f(x) (x = 2):
f(2) = -9
|f(2)| = |-9| = 9
g(2) = -9 + 4 = -5
Isso confirma que existe um vale profundo no meio do gráfico, com valor mínimo -5.
A estrutura da função cria um formato com duas montanhas laterais (devido à parte negativa de -|f(x)| fora das raízes) conectadas por um vale central (devido ao deslocamento vertical da parábola interna).
Alternativa D.