Analise as afirmações abaixo sobre as transformações geométricas no plano. A homotetia é uma transformação geométrica que amplia ou reduz figuras a partir de um ponto fixo, mantendo a proporcionalidade das distâncias e a medida dos ângulos internos. II. Uma homotetia de razão k = 2 preserva a forma da figura, mas dobra as medidas. III. Na homotetia, se a razão de semelhança for k = 2, a figura resultante será uma ampliação da original, e sua área será o dobro da área original. IV. Na homotetia, se a razão de semelhança for k = 0,5, a figura resultante será uma redução da original, e sua área será a quarta parte da área original. Pode-se afirmar corretamente que:

Alternativa A - Apenas as afirmações I e IV estão corretas.

Análise Detalhada

Para resolver esta questão, precisamos revisar as propriedades fundamentais da homotetia, uma transformação geométrica que cria figuras semelhantes.

1. Conceitos Fundamentais da Homotetia

A homotetia é definida por um centro de homotetia (O) e uma razão (k). Ela possui duas características principais:

• Preservação de Ângulos: Os ângulos internos da figura original e da transformada são sempre iguais.
• Relação de Escala: Os comprimentos dos lados são multiplicados pelo valor absoluto de k (|k|).
• Relação de Áreas: A área da figura transformada é igual à área original multiplicada por k^2.

2. Avaliação das Afirmações

Vamos analisar cada item apresentado na questão:

• Afirmação I (Correta):
  Descreve perfeitamente a definição de homotetia. É uma transformação que altera o tamanho (amplia ou reduz) mantendo a forma, preservando a proporção das distâncias e, crucialmente, mantendo a medida dos ângulos.
• Afirmação II (Incorreta):
  Diz que a homotetia com k = 2 dobra as medidas dos ângulos.
  Erro: Em qualquer transformação de semelhança (como a homotetia), os ângulos nunca mudam de medida. Se você ampliar um triângulo retângulo, ele continuará tendo um ângulo de $90^\circ$. Apenas os lados aumentam.
• Afirmação III (Incorreta):
  Afirma que, se k = 2, a área será o dobro ($2 \times$) da original.
  Erro: A área varia com o quadrado da razão.
  k = 2 \Rightarrow k^2 = 2^2 = 4
  Portanto, a nova área seria 4 vezes a original, não 2 vezes.
• Afirmação IV (Correta):
  Afirma que, se k = 0,5, a figura é reduzida e a área é a quarta parte.
  Verificação:
• Como $0 < k < 1$, é de fato uma redução.
• Cálculo da área:
  k = 0,5 = \frac{1}{2} \Rightarrow k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
  A área resulta em \frac{1}{4} (um quarto) da original. A afirmação está matematicamente correta.

Conclusão

Somente as afirmações I e IV descrevem corretamente as propriedades da homotetia. As afirmações II e III cometem erros conceituais graves sobre a preservação de ângulos e a relação de variação de área.

Portanto, a alternativa correta é a (A).