José quer cercar completamente um terreno retangular de 900 m². Pensando ser o terreno quadrado, José comprou 2 metros de cerca a menos do que o necessário. Qual o comprimento do terreno?

Alternativa A - 36 m

Resolução Passo a Passo

Para encontrar a resposta, precisamos seguir a lógica do erro cometido por José e reverter os cálculos para descobrir as dimensões reais do terreno.

1. Cálculo da suposição de José (Terreno Quadrado)

José achava que o terreno seria um quadrado com área de $900 \text{ m}^2$.

• Área do quadrado = \text{lado}^2
• \text{lado} = \sqrt{900} = 30 \text{ m}
• Perímetro imaginado = $4 \times \text{lado} = 4 \times 30 = 120 \text{ m}$

Portanto, José comprou 120 metros de cerca.

2. Cálculo do Perímetro Real

O enunciado diz que ele comprou 2 metros a menos do que o necessário.

• Perímetro Real = Perímetro Imaginado + 2
• Perímetro Real = $120 + 2 = 122 \text{ m}$

3. Determinação das Dimensões do Retângulo

Sabemos que o terreno é retangular, então temos dois lados distintos, chamaremos de x e y.

• Área: x \cdot y = 900
• Perímetro: $2x + 2y = 122 \Rightarrow x + y = 61$

Podemos montar um sistema ou usar a fórmula de Bhaskara. Substituímos y = 61 - x na equação da área:
x(61 - x) = 900
61x - x^2 = 900
x^2 - 61x + 900 = 0

Calculando o discriminante (\Delta):
\Delta = (-61)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 900
\Delta = 3721 - 3600 = 121

Encontrando as raízes:
x = \frac{61 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{61 \pm 11}{2}

As soluções são:

• x_1 = \frac{72}{2} = 36 \text{ m}
• x_2 = \frac{50}{2} = 25 \text{ m}

Os lados do terreno medem 36 m e 25 m.

Análise das Alternativas

Comparando os resultados obtidos com as opções disponíveis:

A pergunta pede o "comprimento", que geometricamente refere-se ao maior dos lados do retângulo.

• Alternativa A: Correta.
• Alternativa B, C, D, E: Incorretas, pois não correspondem às dimensões encontradas.