Alternativa A - 6 m.
Resolução Passo a Passo
Este problema envolve geometria (perímetro e área de retângulos) e álgebra (equação do 2º grau). Vamos analisar os dados fornecidos no enunciado.
1. Identificando o Perímetro Real
O enunciado diz que foram usados 64 metros de arame para formar uma cerca com dois fios. Isso significa que o comprimento total de arame cobre duas vezes o contorno do terreno (o perímetro).
- Comprimento total de arame = $64 \text{ m}$
- Perímetro do terreno (P) = \frac{64}{2} = 32 \text{ m}
2. Relacionando os Lados
Sabemos que a fórmula do perímetro de um retângulo é P = 2 \times (\text{largura} + \text{comprimento}).
32 = 2 \times (w + c)
Dividindo ambos os lados por 2:
16 = w + c
Daqui, podemos expressar o comprimento (c) em função da largura (w):
c = 16 - w
3. Utilizando a Área
A área (A) do retângulo é dada pelo produto da largura pelo comprimento. O enunciado informa que a área é $60 \text{ m}^2$.
A = w \times c
60 = w \times (16 - w)
4. Resolvendo a Equação
Expandimos a equação e organizamos para encontrar as raízes:
60 = 16w - w^2
w^2 - 16w + 60 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara (\Delta = b^2 - 4ac):
\Delta = (-16)^2 - 4(1)(60)
\Delta = 256 - 240
\Delta = 16
Calculando as raízes (w = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}):
w = \frac{16 \pm \sqrt{16}}{2}
w = \frac{16 \pm 4}{2}
Temos duas possibilidades para as medidas dos lados:
- w_1 = \frac{16 + 4}{2} = 10 \text{ m}
- w_2 = \frac{16 - 4}{2} = 6 \text{ m}
5. Conclusão
As dimensões do terreno são 10 metros e 6 metros.
O enunciado faz uma restrição importante: "considerando que ela [a largura] é o menor dos lados".
Portanto, devemos escolher o valor menor entre as duas opções encontradas:
- Menor lado (largura) = 6 m
- Maior lado (comprimento) = 10 m
A alternativa correta é a A.