Se o raio de um círculo aumenta de 40%, de quanta aumentará a área desse círculo?

Alternativa D

Para resolver este problema, precisamos entender a relação entre o raio de um círculo e sua área. A área não cresce na mesma proporção linear do raio, mas sim de forma quadrática.

A fórmula fundamental para a área de um círculo é dada por:

Onde:

• A é a área
• \pi é a constante pi (aproximadamente 3,14)
• r é o raio

Análise

Vamos analisar os passos lógicos para encontrar a variação percentual:

1. Definir o aumento do raio: Se o raio aumenta de $40\%, o novo raio ($r_{novo}) será $140\%$ do raio original (r_{original}). Matematicamente:
   r_{novo} = 1,4 \times r_{original}
2. Calcular a nova área: Substituímos o novo raio na fórmula da área:
   A_{nova} = \pi \times (1,4 \times r_{original})^2
3. Expandir o termo quadrado: Lembrando que (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2:
   A_{nova} = \pi \times (1,4^2) \times (r_{original})^2
   A_{nova} = \pi \times 1,96 \times r_{original}^2
4. Comparar as áreas: Note que A_{nova} = 1,96 \times (\pi \times r_{original}^2). Como \pi \times r_{original}^2 é a área original (A_{original}), temos:
   A_{nova} = 1,96 \times A_{original}
5. Determinar o aumento percentual:

• Se a nova área é $1,96$ vezes a antiga, isso significa que ela cresceu $0,96$ vezes em relação ao valor original ($1,96 - 1 = 0,96$).
• Convertendo para porcentagem: $0,96 \times 100\% = 96\%$.

Conclusão

Um aumento linear de $40\%$ no raio resulta em um aumento quadrático de $96\%$ na área.

Portanto, a alternativa correta é a D.