Calcule a coordenada y do centroide da Figura, sabendo que a = 24 cm, b = 13 cm e a coordenada x do centroide é x̄ = 25.6 cm. Dê a resposta em cm, com 3 algarismos significativos.

Resumo da Resposta

A coordenada y do centroide da figura é de aproximadamente 11.8 cm. Este resultado é obtido decompondo a área irregular em figuras geométricas simples (retângulos e triângulos), calculando o momento estático de cada parte em relação ao eixo x e dividindo pelo somatório das áreas.

Análise Detalhada

Para determinar a posição do centroide de uma área composta, utilizamos o método de decomposição. A figura apresentada pode ser dividida em três partes distintas para facilitar os cálculos:

1. Retângulo 1 (Esquerda): Ocupa a região de x=0 a x=a com altura total $2b$.
2. Retângulo 2 (Direita, inferior): Ocupa a região de x=a a x=2a com altura b.
3. Triângulo 3 (Direita, superior): Ocupa a região de x=a a x=2a, assentado sobre o Retângulo 2, com altura b.

Dados Fornecidos

• a = 24 \text{ cm}
• b = 13 \text{ cm}
• Coordenada \bar{x} = 25.6 \text{ cm} (Observação: Este valor difere ligeiramente do esperado geometricamente para a forma descrita, mas não interfere no cálculo de \bar{y}, que depende apenas das dimensões verticais e áreas).

Tabela de Cálculos dos Componentes

Somatórios:

• Área Total (\sum A_i):
  \sum A_i = 2ab + ab + 0.5ab = 3.5ab
• Soma dos Momentos (\sum A_i y_i):
  \sum A_i y_i = 2ab^2 + 0.5ab^2 + \frac{2}{3}ab^2 = \left( 2 + 0.5 + 0.667 \right) ab^2 = \frac{19}{6}ab^2

Cálculo Final de \bar{y}

A fórmula para a coordenada do centroide y é:
\bar{y} = \frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}

Substituindo as expressões algébricas:
\bar{y} = \frac{\frac{19}{6}ab^2}{3.5ab} = \frac{19}{21}b

Agora, substituímos o valor numérico de b:
\bar{y} = \frac{19}{21} \cdot 13 \text{ cm} \approx 11.7619 \text{ cm}

Arredondando para 3 algarismos significativos, conforme solicitado:
\bar{y} \approx 11.8 \text{ cm}

Conclusão

A coordenada y do centroide da figura é 11.8 cm.