Dado o vetor A = 1aₓ + 2aᵧ, calcule sua projeção sobre o vetor B = 5aₓ - aᵧ + 2a₂.

Question

Dado o vetor A = 1aₓ + 2aᵧ, calcule sua projeção sobre o vetor B = 5aₓ aᵧ + 2a₂. A) ProjAB = 5aₓ 1aᵧ + 2a₂ B) ProjAB = 1,5aₓ 0,2aᵧ + a₂ C) ProjAB = 5aₓ 0,2aᵧ + 1a₂ D) ProjAB = 0,5aₓ 0,1aᵧ + 0,2a₂ E) ProjAB = 0,5aₓ + 0,1aᵧ 0,2a₂

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Alternativa D $Proj {AB} = 0,5a x 0,1a y + 0,2a z$ Introdução ao Problema O exercício solicita o cálculo da projeção vetorial do vetor $\mathbf{A}$ sobre o vetor $\mathbf{B}$. Para resolver questões desse tipo, precisamos aplicar a fórmula padrão da projeção vetorial, que envolve o produto escalar entre os vetores e a magnitude (módulo) do vetor sobre o qual será feita a projeção. Desenvolvimento Matemático A fórmula para a projeção vetorial de $\mathbf{A}$ sobre $\mathbf{B}$ ($Proj {\mathbf{B}}\mathbf{A}$) é dada por: $$ Proj {\mathbf{B}}\mathbf{A} = \left( \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{B}|^2} ight) \mathbf{B} $$ Onde: $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ é o produto escalar entre os vetores. $|\mathbf{B}|^2$ é o quadrado do módulo (magnitude) do vetor $\mathbf{B}$. O resultado final deve ser um vetor paralelo a $\mathbf{B}$. Dados do problema: $\mathbf{A} = 1a x + 2a y$ (ou seja, $(1, 2, 0)$) $\mathbf{B} = 5a x 1a y + 2a z$ (ou seja, $(5, 1, 2)$) Passo 1: Calcular o Produto Escalar ($\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$) Multiplicamos as componentes correspondentes e somamos os resultados: $$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1)(5) + (2)( 1) + (0)(2) $$ $$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 5 2 + 0 $$ $$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 3 $$ Passo 2: Calcular o Quadrado do Módulo de $\mathbf{B}$ ($|\mathbf{B}|^2$) Somamos o quadrado das componentes do vetor $\mathbf{B}$: $$ |\mathbf{B}|^2 = 5^2 + ( 1)^2 + 2^2 $$ $$ |\mathbf{B}|^2 = 25 + 1 + 4 $$ $$ |\mathbf{B}|^2 = 30 $$ Passo 3: Calcular o Fator Escalar e a Projeção Substituímos os valores encontrados na fórmula principal: $$ Proj {AB} = \left( \frac{3}{30} ight) \mathbf{B} $$ Simplificando a fração: $$ \frac{3}{30} = 0,1 $$ Portanto, devemos multiplicar o vetor $\mathbf{B}$ inteiro por $0,1$: $$ Proj {AB} = 0,1 	imes (5a x 1a y + 2a z) $$ $$ Proj {AB} = (0,1 	imes 5)a x (0,1 	imes 1)a y + (0,1 	imes 2)a z $$ $$ Proj {AB} = 0,5a x 0,1a y + 0,2a z $$ Análise das Alternativas | Alternativa | Resultado Obtido | Status | | : | : | : | | A | $5a x 1a y + 2a z$ | Incorreta (é o próprio vetor B) | | B | $1,5a x 0,2a y + a z$ | Incorreta | | C | $ 5a x 0,2a y + 1a z$ | Incorreta | | D | $0,5a x 0,1a y + 0,2a z$ | Correta | | E | $ 0,5a x + 0,1a y 0,2a z$ | Incorreta | A alternativa D corresponde exatamente ao resultado calculado.

Explicação passo a passo

Introdução ao Problema

Desenvolvimento Matemático

Passo 1: Calcular o Produto Escalar ( $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ )

Passo 2: Calcular o Quadrado do Módulo de $\mathbf{B}$ ( $|\mathbf{B}|^2$ )

Passo 3: Calcular o Fator Escalar e a Projeção

Análise das Alternativas

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Alternativa	Resultado Obtido	Status
A	$5a_x - 1a_y + 2a_z$	Incorreta (é o próprio vetor B)
B	$1,5a_x - 0,2a_y + a_z$	Incorreta
C	$-5a_x - 0,2a_y + 1a_z$	Incorreta
D	$0,5a_x - 0,1a_y + 0,2a_z$	Correta
E	$-0,5a_x + 0,1a_y - 0,2a_z$	Incorreta