Determine o lugar geométrico e a excentricidade da cônica representada pela equação (y-3)² / 4 - (x+2)² / 16 = 1.
Determine o lugar geométrico e a excentricidade da cônica representada pela equação (y-3)² / 4 - (x+2)² / 16 = 1.
Determine o lugar geométrico e a excentricidade da cônica representada pela equação (y-3)² / 4 - (x+2)² / 16 = 1.
Resolução completa
Resumo da Resposta: O lugar geométrico é uma hipérbole e a excentricidade é igual a $\frac{5}{3}$.
Para resolver esta questão, precisamos analisar a estrutura da equação fornecida para identificar o tipo de curva (lugar geométrico) e calcular seus elementos métricos.
A equação apresentada é:
$$ \frac{(y-3)^2}{9} - \frac{(x+2)^2}{16} = 1 $$
Observe as características principais desta equação:
Na geometria analítica, quando temos a diferença entre dois quadrados divididos por constantes positivas igual a 1, a cônica correspondente é sempre uma hipérbole.
Além disso, como o termo positivo está associado à variável $y$, trata-se de uma hipérbole com eixo transverso vertical (abertura para cima e para baixo).
Para encontrar a excentricidade, precisamos identificar os valores de $a$ e $b$ na equação padrão da hipérbole vertical:
$$ \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 $$
Comparando com a equação do enunciado:
(Nota: O centro da hipérbole seria $(h, k) = (-2, 3)$, mas não é necessário para calcular a excentricidade).
Em uma hipérbole, a relação entre os semi-eixos ($a$ e $b$) e a distância focal ($c$) é dada pela equação:
$$ c^2 = a^2 + b^2 $$
Substituindo os valores encontrados:
$$ c^2 = 9 + 16 $$
$$ c^2 = 25 $$
$$ c = \sqrt{25} = 5 $$
A excentricidade de uma hipérbole é definida pelo quociente entre a distância focal ($c$) e o semi-eixo transverso ($a$):
$$ e = \frac{c}{a} $$
Substituindo os valores:
$$ e = \frac{5}{3} $$
É importante notar que, para qualquer hipérbole, a excentricidade deve ser maior que 1 ($e > 1$). No nosso caso, $\frac{5}{3} \approx 1,67$, o que confirma que o cálculo está correto.
Com base na análise da equação e nos cálculos realizados:
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