Determine o lugar geométrico e a excentricidade da cônica representada pela equação (y-3)² / 4 - (x+2)² / 16 = 1.

Resolução da Questão

Resumo da Resposta: O lugar geométrico é uma hipérbole e a excentricidade é igual a $\frac{5}{3}$.

Justificativa Didática

Para resolver esta questão, precisamos analisar a estrutura da equação fornecida para identificar o tipo de curva (lugar geométrico) e calcular seus elementos métricos.

1. Identificação do Lugar Geométrico

A equação apresentada é:
$$ \frac{(y-3)^2}{9} - \frac{(x+2)^2}{16} = 1 $$

Observe as características principais desta equação:

• Ela possui dois termos quadrados ($(y-3)^2$ e $(x+2)^2$).
• Existe um sinal de subtração entre as duas frações.
• O resultado da operação é igual a 1.

Na geometria analítica, quando temos a diferença entre dois quadrados divididos por constantes positivas igual a 1, a cônica correspondente é sempre uma hipérbole.

Além disso, como o termo positivo está associado à variável $y$, trata-se de uma hipérbole com eixo transverso vertical (abertura para cima e para baixo).

2. Cálculo dos Parâmetros

Para encontrar a excentricidade, precisamos identificar os valores de $a$ e $b$ na equação padrão da hipérbole vertical:
$$ \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 $$

Comparando com a equação do enunciado:

• $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$
• $b^2 = 16 \Rightarrow b = 4$

(Nota: O centro da hipérbole seria $(h, k) = (-2, 3)$, mas não é necessário para calcular a excentricidade).

3. Determinação da Distância Focal ($c$)

Em uma hipérbole, a relação entre os semi-eixos ($a$ e $b$) e a distância focal ($c$) é dada pela equação:
$$ c^2 = a^2 + b^2 $$

Substituindo os valores encontrados:
$$ c^2 = 9 + 16 $$
$$ c^2 = 25 $$
$$ c = \sqrt{25} = 5 $$

4. Cálculo da Excentricidade ($e$)

A excentricidade de uma hipérbole é definida pelo quociente entre a distância focal ($c$) e o semi-eixo transverso ($a$):
$$ e = \frac{c}{a} $$

Substituindo os valores:
$$ e = \frac{5}{3} $$

É importante notar que, para qualquer hipérbole, a excentricidade deve ser maior que 1 ($e > 1$). No nosso caso, $\frac{5}{3} \approx 1,67$, o que confirma que o cálculo está correto.

Conclusão

Com base na análise da equação e nos cálculos realizados:

• Lugar Geométrico: Hipérbole
• Excentricidade: $\frac{5}{3}$