Em um triângulo ABC, o ângulo B mede 30°, o ângulo C mede 45° e o lado AB mede 2√2 cm. Calcule a medida do lado AC.

Question

Em um triângulo ABC, o ângulo B mede 30°, o ângulo C mede 45° e o lado AB mede 2√2 cm. Calcule a medida do lado AC. A) 0,5 B) 1,2 C) 2 D) 2,3 E) 2√2

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa C Para resolver este problema, utilizaremos a Lei dos Senos , que relaciona as medidas dos lados de um triângulo com os senos dos seus ângulos opostos. Análise do Problema Temos as seguintes informações sobre o triângulo ABC: Ângulo $\hat{B} = 30^\circ$ Ângulo $\hat{C} = 45^\circ$ Lado $AB$ (lado oposto ao ângulo $C$, denotado por $c$) $= 2\sqrt{2}$ cm Incógnita: Lado $AC$ (lado oposto ao ângulo $B$, denotado por $b$) A fórmula da Lei dos Senos é dada por: $$ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$ Substituindo na nossa equação: $$ \frac{AC}{\sin 30^\circ} = \frac{AB}{\sin 45^\circ} $$ Passo a Passo do Cálculo Primeiro, precisamos lembrar dos valores trigonométricos básicos para esses ângulos notáveis: | Ângulo | Seno ($\sin$) | | : | : | | $30^\circ$ | $0,5$ | | $45^\circ$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | Agora, substituímos os valores na equação: $$ \frac{AC}{0,5} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $$ Isolamos a incógnita $AC$: $$ AC = 0,5 	imes \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $$ Simplificamos a fração complexa: $$ AC = \frac{1}{2} 	imes \left( 2\sqrt{2} \div \frac{\sqrt{2}}{2} ight) $$ $$ AC = \frac{1}{2} 	imes \left( 2\sqrt{2} 	imes \frac{2}{\sqrt{2}} ight) $$ Os termos $\sqrt{2}$ se cancelam no numerador e denominador: $$ AC = \frac{1}{2} 	imes (2 	imes 2) $$ $$ AC = \frac{1}{2} 	imes 4 $$ $$ AC = 2 $$ Portanto, a medida do lado AC é 2 cm . Conclusão A alternativa correta é a C .

Explicação passo a passo

Análise do Problema

Passo a Passo do Cálculo

Conclusão

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