Em um triângulo, um lado mede 4√2 cm. Sabendo que o ângulo C mede 120 graus e o ângulo A mede 45 graus, determine a medida do lado AB.

Alternativa A - $4\sqrt{3}$ cm

Para resolver este problema, utilizaremos o Teorema dos Senos, que relaciona as medidas dos lados de um triângulo com os senos de seus ângulos opostos.

Análise

1. Identificação dos dados:

• Lado BC (oposto ao ângulo A): $4\sqrt{2}$ cm
• Ângulo A: $45^\circ$
• Ângulo C: $120^\circ$
• Lado procurado: AB (oposto ao ângulo C)

2. O Teorema dos Senos:
A fórmula geral é:
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

Aplicando aos nossos elementos (a = BC e c = AB):
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}

3. Valores Trigonométricos:
Precisamos conhecer os valores exatos dos senos envolvidos:

• \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}
• \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}

4. Cálculo:
Substituímos na equação:
\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

Primeiro, simplificamos o lado esquerdo:
\frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 8

Agora isolamos AB:
8 = \frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
AB = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
AB = 4\sqrt{3} \text{ cm}

Portanto, a medida do lado AB é $4\sqrt{3}$ cm.

Alternativa A.