O matemático Georg Alexander Pick descobriu uma área de uma figura em um reticulado, que toda malha é que os pontos que formam os vértices de uma malha quadrada no plano. Quando os lados dos quadrados da malha são ldm unitária, a área de um polígono que tem todos os seus vértices nesse reticulado é simplesmente o número de pontos do reticulado que se encontram no interior da figura mais metade do número de pontos que se encontram sobre a borda da figura, menos uma unidade. Observe a figura. De acordo com Pick, a área desse triângulo é:

Alternativa A

Análise da Questão

O problema solicita o cálculo da área de um triângulo desenhado sobre uma grade de pontos, onde a distância entre pontos adjacentes é de 1 cm. O enunciado faz uma referência ao Teorema de Pitágoras, o que é uma dica importante para identificar propriedades geométricas do triângulo.

Passo 1: Identificar as coordenadas dos vértices

Vamos atribuir coordenadas aos vértices do triângulo baseando-nos na contagem das células da grade (onde cada célula tem lado 1 cm).

• Vértice Inferior (V1): Vamos considerar como referência $(0, 0)$.
• Vértice Superior (V2): Ao subir 3 linhas e mover 3 colunas para a direita em relação ao V1. Coordenada: $(3, 3)$.
• Vértice Direito (V3): Ao descer 2 linhas e mover 2 colunas para a direita em relação ao V2. Coordenada: $(5, 1)$.

(Nota: As coordenadas absolutas não importam, apenas as distâncias relativas).

Passo 2: Utilizar o Teorema de Pitágoras (Dica do Enunciado)

Podemos calcular o quadrado do comprimento de cada lado observando os catetos nos triângulos retângulos formados pela grade.

1. Lado 1 (entre V1 e V2): Deslocamento de 3 unidades horizontais e 3 verticais.
   $$L_1^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$$
2. Lado 2 (entre V2 e V3): Deslocamento de 2 unidades horizontais e 2 verticais.
   $$L_2^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$$
3. Lado 3 (entre V1 e V3): Deslocamento de 5 unidades horizontais e 1 vertical.
   $$L_3^2 = 5^2 + 1^2 = 25 + 1 = 26$$

Passo 3: Verificar se é um Triângulo Retângulo

Observe a soma dos quadrados dos dois menores lados:
$$L1^2 + L2^2 = 18 + 8 = 26$$
Como isso é igual ao quadrado do terceiro lado ($L_3^2 = 26$), o triângulo é retângulo no vértice superior (V2).

Passo 4: Calcular a Área

Para um triângulo retângulo, a área é dada pela metade do produto dos catetos (os lados que formam o ângulo de 90°):
$$\text{Área} = \frac{\sqrt{L1^2} \times \sqrt{L2^2}}{2}$$
$$\text{Área} = \frac{\sqrt{18} \times \sqrt{8}}{2}$$
$$\text{Área} = \frac{(3\sqrt{2}) \times (2\sqrt{2})}{2}$$
$$\text{Área} = \frac{6 \times 2}{2} = 6 \text{ cm}^2$$

Alternativa: Método da Caixa (Verificação)

Você também pode resolver envolvendo o triângulo em um retângulo de $5 \times 3$ (Área = 15) e subtraindo as áreas dos três triângulos retângulos externos:

• Triângulo Esquerdo: $\frac{3 \times 3}{2} = 4,5$
• Triângulo Superior: $\frac{2 \times 2}{2} = 2$
• Triângulo Inferior: $\frac{5 \times 1}{2} = 2,5$
• Soma a subtrair: $4,5 + 2 + 2,5 = 9$
• Área Final: $15 - 9 = 6$.

Conclusão

Ambos os métodos confirmam que a área do triângulo é exatamente 6.

Alternativa A