O quadrilátero ABCD, representado na figura, é um quadrado. A área do quadrado ABCD, em unidades de área, é:

Alternativa B - 18

Introdução

O quadrilátero ABCD é um quadrado, e sua área pode ser calculada usando propriedades de polígonos ou fórmulas específicas.

Desenvolvimento

Para calcular a área de um quadrado, podemos usar a distância entre seus vértices ou a fórmula de shoelace. Primeiro, identificamos as coordenadas dos vértices:

• A(4, 2)
• B(1, -1)
• C(4, -4)
• D(7, -1)

Análise

1. Verificação de lados: Usando a fórmula da distância entre dois pontos d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, calculamos a distância entre A e B:
   AB = \sqrt{(4-1)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18}.
   Todos os lados são iguais (\sqrt{18}), confirmando que é um quadrado.
2. Fórmula da área usando diagonais: Em um quadrado, as diagonais são iguais e se intersectam em ângulo reto. Calculamos as diagonais:

• Diagonal AC: de A(4,2) a C(4,-4): AC = 2 - (-4) = 6
• Diagonal BD: de B(1,-1) a D(7,-1): BD = 7 - 1 = 6
  A área de um quadrado é \frac{d_1 \times d_2}{2}. Substituindo os valores: \frac{6 \times 6}{2} = 18.

1. Fórmula de Shoelace: Aplicando a fórmula para coordenadas:
   \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_A y_B + x_B y_C + x_C y_D + x_D y_A - (y_A x_B + y_B x_C + y_C x_D + y_D x_A) \right|
   Substituindo os valores: \frac{1}{2} \left| 4(-1) + 1(-4) + 4(-1) + 7(2) - [2(1) + (-1)(4) + (-4)(7) + (-1)(4)] \right| = \frac{1}{2} \left| -4 -4 -4 +14 - [2 -4 -28 -4] \right| = \frac{1}{2} \left| 2 + 34 \right| = 18.

Conclusão

A área do quadrado ABCD é 18 unidades de área.

Alternativa B.