Obtenha as funções de transferência $ rac{ heta_2(s)}{T(s)}$ para o sistema mecânico de rotação a seguir:

Alternativa B

Para obter a função de transferência \frac{\theta_2(s)}{T(s)}, devemos analisar o sistema mecânico rotacional utilizando as leis de Newton para rotação no domínio de Laplace (s).

Desenvolvimento Didático

1. Modelagem do Sistema (Equações de Movimento)

O sistema possui dois discos de inércia (J_1 e J_2) acoplados por um conjunto paralelo de mola (K) e amortecedor (D). Aplicamos a soma dos torques igual a zero para cada nó (disco).

• No Nó 1 (J_1):
  O torque externo T(s) atua contra a inércia do disco e a reação do acoplamento (K e D) ligado ao disco 2.
  (J_1 s^2)\theta_1 + (Ds + K)(\theta_1 - \theta_2) = T(s)
  Rearranjando os termos:
  (J_1 s^2 + Ds + K)\theta_1 - (Ds + K)\theta_2 = T(s) \quad \text{--- (Eq. 1)}
• No Nó 2 (J_2):
  Não há torque externo aplicado diretamente neste disco. A única ação vem do acoplamento com o disco 1.
  (J_2 s^2)\theta_2 + (Ds + K)(\theta_2 - \theta_1) = 0
  Rearranjando os termos:
  -(Ds + K)\theta_1 + (J_2 s^2 + Ds + K)\theta_2 = 0 \quad \text{--- (Eq. 2)}

2. Representação Matricial

Montamos o sistema na forma matricial [Z][X] = [F]:

3. Cálculo da Função de Transferência (Regra de Cramer)

Para encontrar \theta_2(s), utilizamos a Regra de Cramer. O determinante geral do sistema é \Delta. O numerador de \theta_2 é obtido substituindo a segunda coluna da matriz pelos valores do vetor de forças (T(s) e $0$):

Calculando o determinante do numerador:
\text{Num} = (J_1 s^2 + Ds + K)(0) - (T(s))(-(Ds + K))
\text{Num} = T(s)(Ds + K)

Portanto, a função de transferência é:
\frac{\theta_2(s)}{T(s)} = \frac{Ds + K}{\Delta}

Análise das Alternativas

Comparando o resultado obtido com as opções apresentadas:

A alternativa B apresenta exatamente o numerador derivado (Ds + K), que representa a impedância mecânica do acoplamento que transmite o movimento de J_1 para J_2.