Os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 devem ser distribuídos nas casas de um tabuleiro 3 x 3, um número em cada casa, de modo que a soma dos números em quaisquer duas casas que possuem um lado em comum pertença ao conjunto {9, 10, 11, 12}. Qual é a soma dos números localizados nas quatro casas dos vértices do tabuleiro?

Alternativa C

Para resolver este problema de lógica e combinatória, devemos analisar as restrições impostas pelas somas dos vizinhos e a estrutura do tabuleiro $3 \times 3$.

Análise Lógica Passo a Passo

1. Analisando as Restrições de Soma:

• Os números vizinhos devem somar entre 9 e 12.
• Número 1: Precisa de vizinhos x tal que $1+x \in \{9, 10, 11, 12\}. Isso implica $x \in \{8, 9\}. Logo, o 1 só pode tocar no 8 e no 9.
• Número 9: Precisa de vizinhos y tal que $9+y \in \{9, 10, 11, 12\}. Isso implica $y \in \{1, 2, 3\}. Logo, o 9 só pode tocar no 1, 2 e 3.

1. Posicionamento do Número 1:

• O número 1 precisa de dois vizinhos específicos (8 e 9).
• No tabuleiro $3 \times 3$, as posições têm diferentes quantidades de vizinhos:
• Cantos: 2 vizinhos.
• Bordas (meio): 3 vizinhos.
• Centro: 4 vizinhos.
• Como o 1 precisa de exatamente 2 vizinhos (8 e 9), ele deve ocupar um canto. Se estivesse na borda, precisaria de um terceiro vizinho, o que seria impossível (não há mais números que somem com 1 dentro do intervalo permitido).

1. Posicionamento do Número Central:

• O centro do tabuleiro possui 4 vizinhos. O número colocado lá deve ter pelo menos 4 parceiros válidos dentro do conjunto \{1, ..., 9\}.
• Testando os números:
• 3: Vizinhos possíveis \{6, 7, 8, 9\} (Somas: 9, 10, 11, 12). Válido.
• 4: Vizinhos possíveis \{5, 6, 7, 8\} (Somas: 9, 10, 11, 12). Válido.
• 7: Vizinhos possíveis \{2, 3, 4, 5\} (Somas: 9, 10, 11, 12). Válido.
• Outros números (como 5, 6, 8, 9) não têm 4 vizinhos compatíveis.

1. Montagem do Tabuleiro:

• Ao testar as configurações, verifica-se que a única disposição viável (considerando simetrias) coloca o 3 no centro.
• Com o 3 no centro, os vizinhos são 6, 7, 8, 9.
• Sabendo que o 1 está num canto e toca no 8 e no 9, e que 8 e 9 são vizinhos do centro, conseguimos preencher o restante.
• Uma configuração válida é:

• Verificação rápida:
• Linha 1: $5+6=11$, $6+4=10$ (Ok)
• Linha 2: $7+3=10$, $3+8=11$ (Ok)
• Linha 3: $2+9=11$, $9+1=10$ (Ok)
• Colunas: $5+7=12$, $7+2=9$; $6+3=9$, $3+9=12$; $4+8=12$, $8+1=9$ (Tudo Ok).

1. Cálculo Final:

• A pergunta pede a soma dos números nas quatro casas dos vértices (cantos).
• Os números nos cantos são: 5, 4, 2 e 1.
• Soma: 5 + 4 + 2 + 1 = 12

Conclusão

A soma dos números localizados nas quatro casas dos vértices do tabuleiro é 12.

Alternativa C