Podemos afirmar sem medo de errar que um polígono que tem o total de 90 diagonais é um:

Question

Podemos afirmar sem medo de errar que um polígono que tem o total de 90 diagonais é um: A) Pentadecágono B) Dodecágono C) Decágono D) Undecágono E) Eneágono

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Alternativa A O problema solicita a identificação de um polígono com base no total de suas diagonais. Para responder, precisamos calcular quantos lados ($n$) esse polígono possui utilizando a fórmula geométrica específica para diagonais. A fórmula para calcular o número de diagonais ($d$) de um polígono de $n$ lados é: $$d = \frac{n(n 3)}{2}$$ Sabendo que o número de diagonais é 90, substituímos o valor na equação: $$90 = \frac{n(n 3)}{2}$$ Multiplicando ambos os lados por 2 para facilitar o cálculo: $$180 = n(n 3)$$ Expandindo a expressão: $$180 = n^2 3n$$ Tratando se de uma equação do segundo grau, reorganizamos os termos para igualar a zero: $$n^2 3n 180 = 0$$ Utilizamos a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de $n$: $a = 1$ $b = 3$ $c = 180$ Primeiro calculamos o discriminante ($\Delta$): $$\Delta = ( 3)^2 4(1)( 180)$$ $$\Delta = 9 + 720 = 729$$ A raiz quadrada de 729 é 27. Aplicando na fórmula: $$n = \frac{ ( 3) \pm 27}{2}$$ Obtemos duas raízes: $n 1 = \frac{30}{2} = 15$ $n 2 = \frac{ 24}{2} = 12$ (descartado, pois o número de lados deve ser positivo) Logo, o polígono possui 15 lados . Verificamos as opções com os nomes dos polígonos regulares: | Opção | Polígono | Lados | | : | : | : | | A | Pentadecágono | 15 | | B | Dodecágono | 12 | | C | Decágono | 10 | | D | Undecágono | 11 | | E | Eneágono | 9 | Como o cálculo resultou em 15 lados, a resposta correta é o Pentadecágono . Alternativa A

Explicação passo a passo

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Opção	Polígono	Lados
A	Pentadecágono	15
B	Dodecágono	12
C	Decágono	10
D	Undecágono	11
E	Eneágono	9