Qual polígono convexo tem 20 diagonais?

Alternativa A - Octógono

Para encontrar o polígono correto, utilizamos a fórmula geral para calcular o número de diagonais de um polígono convexo.

Desenvolvimento

A quantidade de diagonais (d) depende apenas do número de lados (n) do polígono. A relação é dada pela seguinte expressão:

No enunciado, sabemos que o número de diagonais é igual a 20. Portanto, devemos substituir d por 20 e resolver a equação para encontrar n:

1. Substituição dos valores:
   20 = \frac{n(n-3)}{2}
2. Eliminação do denominador: Multiplicamos ambos os lados da equação por 2.
   40 = n(n-3)
3. Desenvolvimento da equação:
   40 = n^2 - 3n
   n^2 - 3n - 40 = 0
4. Resolução da Equação Quadrática:
   Precisamos encontrar dois números que multiplicados resultem em -40 e somados resultem em -3. Esses números são -8 e +5.

Assim, podemos fatorar a equação:
(n - 8)(n + 5) = 0

As raízes seriam n = 8 ou n = -5. Como o número de lados de um polígono não pode ser negativo, descartamos -5.

Logo, temos $n = 8$.

Análise

• Um polígono com 8 lados recebe o nome específico de octógono.
• Para confirmar, basta verificar as outras opções usando a mesma fórmula:

Concluímos que o polígono com 20 diagonais é o octógono.