Alternativa A - Questão dissertativa (todas as letras solicitadas)
Esta questão envolve cálculo de áreas em figuras planas: quadrado e triângulo retângulo isósceles.
Dados Iniciais
- Figura base: Quadrado
- Medida do lado (l): $12 \text{ m}$
- Triângulo formado por: uma diagonal do quadrado
Cálculo da Área do Quadrado
A área de um quadrado é calculada multiplicando-se o lado por si mesmo:
A_{quadrado} = l^2
Substituindo o valor dado:
A_{quadrado} = 12^2 = 144 \text{ m}^2
Cálculo da Área do Triângulo
Quando traçamos uma diagonal em um quadrado, ela divide a figura em dois triângulos congruentes. Portanto, cada triângulo tem exatamente metade da área do quadrado:
A_{triangulo} = \frac{A_{quadrado}}{2}
A_{triangulo} = \frac{144}{2} = 72 \text{ m}^2
Verificação pelo Teorema de Pitágoras
Podemos verificar calculando a base e altura do triângulo:
- Base = diagonal do quadrado = \sqrt{12^2 + 12^2} = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97 \text{ m}
- Altura relativa à base = metade da diagonal = $6\sqrt{2} \approx 8{,}49 \text{ m}$
Mas a forma mais simples é usar catetos iguais ao lado do quadrado:
A = \frac{b \times h}{2} = \frac{12 \times 12}{2} = 72 \text{ m}^2
Diferença Entre as Áreas
Como pedido no item (c), calculamos a diferença:
Diferenca = A_{quadrado} - A_{triangulo}
Diferenca = 144 - 72 = 72 \text{ m}^2
Note que a diferença é igual à área do outro triângulo também formado pela diagonal.
Representação Geométrica
Para representar geometricamente:
| Elemento | Descrição Visual |
|---|
| Quadrado | 4 lados iguais de 12m, ângulos retos |
| Diagonal | Linha reta ligando vértices opostos |
| Triângulos | Dois triângulos retângulos isósceles |
| Ângulos internos | Cada triângulo tem 45°-45°-90° |
Conclusão:
| Item | Resultado |
|---|
| a) Área do quadrado | $144 \text{ m}^2$ |
| b) Área do triângulo | $72 \text{ m}^2$ |
| c) Diferença das áreas | $72 \text{ m}^2$ |
| d) Representação | Quadrado dividido em dois triângulos congruentes |
Resumo final: O quadrado tem área de 144 m², cada triângulo formado pela diagonal tem 72 m², e a diferença entre eles é de 72 m² (que corresponde à área do outro triângulo).