Uma pequena praça tem formato triangular. As medidas dos lados são √37 m, 4 m e 3 m. Qual é a medida do ângulo oposto ao maior lado?

Análise do Problema

1. Identificar dados

Temos um triângulo com três lados conhecidos:

• Lado $a = \sqrt{37}$ m $\approx 6,08$ m
• Lado $b = 4$ m
• Lado $c = 3$ m

O maior lado é $\sqrt{37}$ metros.

2. Visualizar/Modelar

       Ângulo θ (oposto ao maior lado)
          /\
         /  \
        /    \
     4m/      \3m
      /        \
     /__________\
         √37 m

Para encontrar o ângulo oposto ao maior lado quando conhecemos os três lados, usamos o Teorema dos Cossenos.

3. Fórmula Aplicada

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)$$

Onde:

• $c$ = lado oposto ao ângulo que queremos encontrar ($\sqrt{37}$)
• $a$ e $b$ = os outros dois lados (4 e 3)
• $\theta$ = ângulo procurado

4. Cálculo Passo a Passo

$$\cos(\theta) = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = 120^\circ$$

5. Verificação

Sabemos da trigonometria fundamental que:

• $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
• $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$

Isso faz sentido porque o ângulo é obtuso (maior que 90°), já que o lado oposto é significativamente maior que os outros dois lados.

Conclusão

A medida do ângulo oposto ao maior lado é 120 graus.

Este é um caso clássico onde os lados formam uma relação especial: quando temos lados proporcionais a 3, 4 e √37, o ângulo entre os lados 3 e 4 é exatamente 120°.