Verifique se $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são LI ou LD. 8. Seja $E = (\vec{e1}, \vec{e2}, \vec{e_3})$ uma base ortonormal. Calcule $||\vec{z}||$ nos casos:

Esta imagem contém dois exercícios de Álgebra Linear focando em independência linear e norma de vetores. Abaixo estão as resoluções detalhadas passo a passo para cada item apresentado.

Resumo da Resposta:
O exercício 7 verifica a dependência linear através do determinante da matriz gerada pelos vetores, enquanto o exercício 8 utiliza a propriedade de bases ortonormais para calcular a norma como a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas.

Análise do Exercício 7

O objetivo é determinar se três vetores são LI (Linearmente Independentes) ou LD (Linearmente Dependentes). O método padrão é formar uma matriz com esses vetores como linhas ou colunas e calcular o determinante.

• Se o determinante for diferente de zero (\det \neq 0), os vetores são LI.
• Se o determinante for igual a zero (\det = 0), os vetores são LD.

Item (a)

Vetores: \vec{u} = (1, 0, 0), \vec{v} = (200, 2, 1), \vec{w} = (300, 1, 2).

Montamos a matriz e calculamos o determinante expandindo pela primeira linha (que tem dois zeros, facilitando o cálculo):

Como $3 \neq 0$, os vetores são Linealmente Independentes (LI).

Item (b)

Vetores: \vec{u} = (1, -1, 2), \vec{v} = (-3, 4, 1), \vec{w} = (1, 0, 9).

Calculamos o determinante expandindo pela terceira linha (que tem um zero):

Como o resultado é $0$, os vetores são Linealmente Dependentes (LD).

Análise do Exercício 8

Neste problema, temos uma base ortonormal E = (\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}). Isso significa que os vetores da base são unitários (\|\vec{e_i}\| = 1) e ortogonais entre si (\vec{e_i} \cdot \vec{e_j} = 0 se i \neq j).

Para calcular a norma \|\vec{u}\| quando \vec{u} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} + z\vec{e_3}, usamos a fórmula do teorema de Pitágoras generalizado:

Resultados por item:

• (a) \vec{u} = (1, 1, 1)_E:
  \|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}
• (b) \vec{u} = -\vec{e_1} + \vec{e_2} \equiv (-1, 1, 0):
  \|\vec{u}\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}
• (c) \vec{u} = 3\vec{e_1} + 4\vec{e_3} \equiv (3, 0, 4):
  \|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
• (d) \vec{u} = -4\vec{e_1} + 2\vec{e_2} - \vec{e_3} \equiv (-4, 2, -1):
  \|\vec{u}\| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}

Conclusão

As resoluções confirmam os conceitos fundamentais de Álgebra Linear aplicados na análise de vetores. A chave para o exercício 7 foi o cálculo determinantal, e para o exercício 8 foi a compreensão das propriedades de uma base ortonormal.