A aplicação das propriedades válidas dentro da aritmética modular constitui uma maneira de simplificar os cálculos envolvendo congruências módulo n. Nesse contexto, considerando o número N = 3¹⁰ ⋅ 42⁵ + 6⁸, marque V para verdadeiro, e F para falso, para os itens a seguir: ( ) Os restos das divisões de 3¹⁰ e N por 5 são os mesmos. ( ) 6⁸ é um elemento da classe de congruência [1]₅. ( ) N é congruente a um número par em Z₅. ( ) r = 3 é um valor válido para 42⁵ ≡ r (mod 5).

Alternativa A - V – V – V – F

Análise Detalhada da Questão

Esta questão aborda Aritmética Modular, focando em propriedades de congruências e cálculo de resíduos (restos) de potências grandes divididas por um módulo. Vamos analisar cada item passo a passo.

Contexto Inicial:
Temos o número N = 3^{10} \cdot 42^5 + 6^8.
O módulo de interesse é n = 5.

1º Item: "Os restos das divisões de $3^{10}$ e N por 5 são os mesmos."

Para verificar, precisamos calcular $3^{10} \pmod 5$ e N \pmod 5.

• Cálculo de $3^{10} \pmod 5$:
  Pelo Pequeno Teorema de Fermat, sabemos que a^{p-1} \equiv 1 \pmod p para p primo. Aqui p=5, então $3^4 \equiv 1 \pmod 5$.
  3^{10} = 3^{4 \cdot 2 + 2} = (3^4)^2 \cdot 3^2 \equiv 1^2 \cdot 9 \equiv 4 \pmod 5
  O resto de $3^{10}$ por 5 é 4.
• Cálculo de N \pmod 5:
  N = 3^{10} \cdot 42^5 + 6^8
  Vamos reduzir as bases módulo 5:

1. $3^{10} \equiv 4$ (calculado acima).
2. $42 \equiv 2 \pmod 5$. Logo, $42^5 \equiv 2^5 = 32 \equiv 2 \pmod 5$.
3. $6 \equiv 1 \pmod 5$. Logo, $6^8 \equiv 1^8 = 1 \pmod 5$.

Substituindo na expressão de N:
N \equiv 4 \cdot 2 + 1 \equiv 8 + 1 \equiv 9 \equiv 4 \pmod 5

• Conclusão: Ambos têm resto 4. A afirmação é VERDADEIRA (V).

2º Item: "$6^8$ é um elemento da classe de congruência [1]_5."

Uma classe de congruência [k]_n contém todos os números inteiros que deixam resto k quando divididos por n.

• Calculando $6^8 \pmod 5$:
  6 \equiv 1 \pmod 5
  6^8 \equiv 1^8 \equiv 1 \pmod 5
• Como o resto é 1, o número pertence à classe [1]_5.
• A afirmação é VERDADEIRA (V).

3º Item: "N é congruente a um número par em \mathbb{Z}_5."

Analisamos o resultado do cálculo de N feito no Item 1.

• Sabemos que N \equiv 4 \pmod 5.
• O conjunto \mathbb{Z}_5 tem representantes canônicos \{0, 1, 2, 3, 4\}.
• O representante canônico de N é 4.
• Na aritmética dos inteiros, 4 é um número par.
• Portanto, N é congruente a um número par (o próprio 4).
• A afirmação é VERDADEIRA (V).

4º Item: "r = 3 é um valor válido para $42^5 \equiv r \pmod 5$."

Precisamos encontrar o resto de $42^5$ dividido por 5.

• Base: $42 \equiv 2 \pmod 5$.
• Potência: $42^5 \equiv 2^5 \pmod 5$.
• Cálculo: $2^5 = 32$.
• Divisão: $32 = 5 \cdot 6 + 2$.
• Resto: $32 \equiv 2 \pmod 5$.
• O item afirma que r = 3, mas o cálculo mostra que r = 2.
• A afirmação é FALSA (F).

Conclusão

A sequência correta dos itens é:

1. V
2. V
3. V
4. F

Isso corresponde à sequência V – V – V – F.

Alternativa A