A demanda mensal (q) referente a sacos de cimento produzidos pela empresa Construcia relaciona-se com o preço unitário de venda (p) através da função p=1.000-5q. O custo fixo de produção para esse produto é de R$ 3.000,00 com custo unitário igual a R$ 10,00. Com base em tais informações, é CORRETO afirmar que a função lucro (L) total para esse produto, em relação à quantidade produzida q, é dada por:

Alternativa C - $L=-5q^2+990q-3.000$

Para encontrar a função lucro, precisamos entender a relação básica entre Receita, Custo e Lucro. O lucro é definido como a diferença entre o dinheiro que entra (receita) e o dinheiro que sai (custo).

Conceitos Fundamentais

A estrutura da solução baseia-se em três funções principais:

• Função Preço ($p$): Informada no enunciado como $p = 1.000 - 5q$.
• Função Receita ($R$): É o valor total das vendas. Calculada multiplicando o preço pelo quantidade vendida ($R = p \cdot q$).
• Função Custo ($C$): Soma do custo fixo e do custo variável total.
• Custo Fixo: R$ 3.000,00
• Custo Unitário: R$ 10,00 $\Rightarrow$ Custo Variável Total = $10q$
• Logo, $C = 3.000 + 10q$.
• Função Lucro ($L$): Diferença entre Receita e Custo ($L = R - C$).

Análise Passo a Passo

Primeiro, calculamos a Função Receita:
Substituímos o preço dado na fórmula da receita:
$$R(q) = p \cdot q$$
$$R(q) = (1.000 - 5q) \cdot q$$
$$R(q) = 1.000q - 5q^2$$

Em seguida, definimos a Função Custo:
Somamos o custo fixo com o custo unitário vezes a quantidade:
$$C(q) = 3.000 + 10q$$

Por fim, determinamos a Função Lucro:
Subtraímos o custo da receita. Atenção para os sinais ao retirar o parêntese do custo:
$$L(q) = R(q) - C(q)$$
$$L(q) = (1.000q - 5q^2) - (3.000 + 10q)$$
$$L(q) = 1.000q - 5q^2 - 3.000 - 10q$$

Agrupamos os termos semelhantes (os termos com $q$):
$$L(q) = -5q^2 + (1.000q - 10q) - 3.000$$
$$L(q) = -5q^2 + 990q - 3.000$$

Esta expressão corresponde exatamente à alternativa C.