A demanda mensal (q) referente a sacos de cimento produzidos pela empresa Construcia relaciona-se com o preço unitário de venda (p) através da função p=1.000-5q. O custo fixo de produção para esse produto é de R$ 3.000,00 com custo unitário igual a R$ 10,00. Com base em tais informações, é CORRETO afirmar que a função lucro (L) total para esse produto, em relação à quantidade produzida q, é dada por:

Alternativa C - L=-5q^2+990q-3.000

Para encontrar a função lucro, precisamos entender a relação básica entre Receita, Custo e Lucro. O lucro é definido como a diferença entre o dinheiro que entra (receita) e o dinheiro que sai (custo).

Conceitos Fundamentais

A estrutura da solução baseia-se em três funções principais:

• Função Preço (p): Informada no enunciado como p = 1.000 - 5q.
• Função Receita (R): É o valor total das vendas. Calculada multiplicando o preço pelo quantidade vendida (R = p \cdot q).
• Função Custo (C): Soma do custo fixo e do custo variável total.
• Custo Fixo: R$ 3.000,00
• Custo Unitário: R$ 10,00 \Rightarrow Custo Variável Total = $10q$
• Logo, C = 3.000 + 10q.
• Função Lucro (L): Diferença entre Receita e Custo (L = R - C).

Análise Passo a Passo

Primeiro, calculamos a Função Receita:
Substituímos o preço dado na fórmula da receita:
R(q) = p \cdot q
R(q) = (1.000 - 5q) \cdot q
R(q) = 1.000q - 5q^2

Em seguida, definimos a Função Custo:
Somamos o custo fixo com o custo unitário vezes a quantidade:
C(q) = 3.000 + 10q

Por fim, determinamos a Função Lucro:
Subtraímos o custo da receita. Atenção para os sinais ao retirar o parêntese do custo:
L(q) = R(q) - C(q)
L(q) = (1.000q - 5q^2) - (3.000 + 10q)
L(q) = 1.000q - 5q^2 - 3.000 - 10q

Agrupamos os termos semelhantes (os termos com q):
L(q) = -5q^2 + (1.000q - 10q) - 3.000
L(q) = -5q^2 + 990q - 3.000

Esta expressão corresponde exatamente à alternativa C.