Análise da Questão de Matemática Financeira
Enunciado Resumido
Calcular o preço inicial de um título com:
- Valor de face: $15.000,00
- Cupom semestral: 8% ao ano (pago semestralmente)
- Prazo: 2 anos (4 semestres)
- Taxa exigida: 4% ao semestre
Desenvolvimento do Problema
Conceitos Fundamentais
O preço de um título é calculado como o valor presente de todos os fluxos futuros de caixa:
- Pagamentos de cupons (rendimentos periódicos)
- Valor de resgate (face value no vencimento)
$$P = \sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1+i)^t} + \frac{FV}{(1+i)^n}$$
Onde:
- $P$ = Preço do título
- $C$ = Cupom por período
- $i$ = Taxa de juros exigida
- $n$ = Número de períodos
- $FV$ = Valor de face
Passos de Cálculo
| Item | Cálculo | Resultado |
|---|
| Taxa semestral do cupom | 8% ao ano ÷ 2 | 4% ao semestre |
| Pagamento do cupom | $15.000 × 4% | $600 por semestre |
| Número de períodos | 2 anos × 2 semestres | 4 semestres |
| Taxa exigida pelo investidor | Informada | 4% ao semestre |
Observação Importante
Quando a taxa do cupom é igual à taxa exigida pelo mercado, o título negocia exatamente pelo seu valor de face:
- Taxa do cupom = 4% ao semestre
- Taxa exigida = 4% ao semestre
- Conclusão: Título em paridade (par)
Demonstração Matemática
$$PV_{cupons} = 600 \times \frac{1-(1+0,04)^{-4}}{0,04} = 600 \times 3,6299 = 2.177,94$$
$$PV_{face} = \frac{15.000}{(1+0,04)^4} = \frac{15.000}{1,1699} = 12.822,06$$
$$Preço = 2.177,94 + 12.822,06 = 15.000,00$$
## Análise das Alternativas
| Alternativa | Preço | Avaliação |
|---|
| a | $18.142 | Incorreto (seria prêmio alto) |
| b | $14.544 | Incorreto (seria desconto) |
| c | $17.689 | Incorreto |
| d | $16.665 | Incorreto |
| e | $15.000 | CORRETO (título em par) |
Conclusão
Alternativa E - Preço inicial é $15.000
A lógica fundamental aqui é que quando a taxa oferecida pelo título (cupom) é igual à taxa exigida pelos investidores, o título é precificado exatamente pelo seu valor de face. Este é um conceito essencial em matemática financeira: títulos negociam em par quando cupom = taxa de mercado.