A trajetória de um projétil de testes, lançada a partir do solo por uma catapulta pneumática, descreve uma parábola representada pela função h(t) = -2t² + kt, onde h representa a altura em metros e t o tempo decorrido em segundos. Sabendo que o projétil atinge sua altura máxima no instante t = 4 segundos, a altura máxima alcançada por esse dispositivo, antes de iniciar o movimento de queda, é de:

Alternativa C - 32 metros

Esta questão envolve o estudo de uma função quadrática, também conhecida como função polinomial do segundo grau. A trajetória descrita é uma parábola com concavidade voltada para baixo, indicando que existe um ponto de altura máxima, chamado de vértice.

Para resolver, precisamos utilizar as propriedades do vértice da parábola para encontrar o valor desconhecido k e, em seguida, calcular a altura correspondente.

Análise

• Identificação dos coeficientes: Na função h(t) = -2t^2 + kt, temos a = -2, b = k e c = 0.
• Abscissa do vértice (t_v): O momento em que ocorre a altura máxima é dado pela fórmula t_v = \frac{-b}{2a}. Sabemos que t_v = 4.
• Cálculo do coeficiente $k$: Igualamos a fórmula à informação dada:
  4 = \frac{-k}{2(-2)}
  4 = \frac{-k}{-4}
  4 = \frac{k}{4} \Rightarrow k = 16
• Função completa: Agora sabemos que a função é h(t) = -2t^2 + 16t.
• Ordenada do vértice (h_{max}): Para achar a altura máxima, substituímos t = 4 na função encontrada:
  h(4) = -2(4)^2 + 16(4)
  h(4) = -2(16) + 64
  h(4) = -32 + 64
  h(4) = 32 \text{ metros}

Conclusão

O projétil atinge sua altura máxima no instante t = 4 segundos, e o cálculo da função nesse ponto resulta em 32 metros. Portanto, a alternativa correta é a C.