Analisando a declaração: Demonstre que √2 é um número irracional; um estudante de métodos de demonstração assim escreveu: Demonstração. Suponha, por absurdo, que √2 é racional. De forma que √2 poderia ser representada como fração irredutível a/b, com b ≠ 0, tais que 2 = (√2)² = a²/b². PORQUE II. A partir disto, podemos afirmar que: 2 = (a/b)² = a²/b². Assim, temos que a² é par, e desta forma, a também é par. Como a é par, a = 2k para algum inteiro k. Logo: 2b² = a² = (2k)² = 4k² b² = 2k² O que nos diz que b também é par. Mas isto é uma contradição, pois se a e b são pares, a fração irredutível a/b poderia ser reduzida, um absurdo! Logo, podemos concluir que o número não pode ser racional, e sim, é irracional. A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.

Alternativa D - Todos os itens estão certos

Análise da Questão

A questão apresenta uma demonstração clássica da Matemática: a prova de que a raiz quadrada de 2 (\sqrt{2}) é um número irracional, utilizando o método de demonstração por absurdo (ou redução ao absurdo).

Para determinar a alternativa correta, precisamos verificar a validade lógica e matemática de cada etapa apresentada no texto:

Passo a passo da demonstração

1. Hipótese (Item I implícito):
   O aluno supõe, por absurdo, que \sqrt{2} é racional. Isso significa que ele pode ser escrito como uma fração a/b onde a e b são inteiros, b \neq 0, e a fração é irredutível (não tem divisores comuns além de 1).
   Status: Correto. É a definição padrão de número racional.
2. Manipulação Algébrica (Item II explícito):
   Eleva-se ambos os lados ao quadrado:
   (\sqrt{2})^2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2 \Rightarrow 2 = \frac{a^2}{b^2}
   Multiplica-se cruzado:
   2b^2 = a^2
   Status: Correto. A álgebra está aplicada perfeitamente.
3. Análise de Paridade (Item III implícito):
   Da equação $2b^2 = a^2$, conclui-se que a^2 é múltiplo de 2 (par). Um fato fundamental da aritmética é que se o quadrado de um número é par, então o próprio número é par. Logo, a é par.
   Status: Correto. Propriedade básica dos números inteiros.
4. Substituição e Conclusão (Item IV implícito):
   Como a é par, escrevemos a = 2k (onde k é um inteiro). Substituindo na equação original:
   2b^2 = (2k)^2 \Rightarrow 2b^2 = 4k^2 \Rightarrow b^2 = 2k^2
   Isso mostra que b^2 também é par, logo b é par.
   Status: Correto.

A Contradição Final

Se tanto a quanto b são pares, eles são divisíveis por 2. Isso significa que a fração a/b pode ser reduzida, o que contradiz a hipótese inicial de que a fração era irredutível. Portanto, a suposição inicial (\sqrt{2} é racional) é falsa.

Conclusão

Como todas as etapas descritas no texto seguem rigorosamente a lógica matemática aceita e comprovam a tese proposta sem erros, todos os itens constituintes da demonstração estão corretos.

Alternativa D.