Analisando a proposição "Cada número racional não zero pode ser escrito como produto de dois números irracionais", um estudante de Métodos de Demonstração assim escreveu: Faça a ∈ Q. PORQUE II. então podemos escrever a como um produto de dois irracionais √2 . a/√2 A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.

Alternativa B - As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

Análise Detalhada

Para responder a esta questão, precisamos avaliar a veracidade das duas partes do raciocínio do estudante e a relação lógica entre elas.

1. Avaliação da Primeira Asserção (I)

• Texto: "Faça $a \in \mathbb{Q}$"
• Análise: Esta é uma hipótese ou premissa inicial de uma demonstração. No contexto da proposição analisada ("número racional não zero"), assumir que a é um número racional é correto. Embora a proposição especifique "não zero", em passos de demonstração, essa condição é frequentemente implícita no escopo da análise. Portanto, considera-se verdadeira no sentido de ser um passo válido de construção.

2. Avaliação da Segunda Asserção (II)

• Texto: "então podemos escrever a como um produto de dois irracionais \sqrt{2} \cdot a/\sqrt{2} = a de onde a/\sqrt{2} é irracional e a é racional."
• Análise: Matematicamente, a construção está correta para a \neq 0.
• Se a \in \mathbb{Q} e a \neq 0, então a/\sqrt{2} é, de fato, um número irracional (o quociente de um racional não nulo por um irracional é irracional).
• O produto \sqrt{2} \cdot (a/\sqrt{2}) resulta em a.
• Logo, a afirmação de que a pode ser escrita como produto de dois irracionais é verdadeira.

3. Avaliação da Relação Lógica (O "PORQUE")

• A estrutura apresentada pelo aluno é: I. Faço isso... PORQUE II. Então acontece aquilo...
• Em lógica matemática, a justificativa deve ir da causa para o efeito ou da premissa para a conclusão.
• Aqui, o estudante inverteu a ordem causal: ele diz que faz a premissa ("Faça $a \in \mathbb{Q}$") porque a conclusão decorre dela ("então podemos escrever...").
• Na realidade, a conclusão (II) é consequência da premissa (I), e não o contrário. A premissa não é verdadeira porque a conclusão existe; a premissa é assumida para chegar à conclusão.
• Portanto, embora ambas as partes sejam matematicamente corretas (dentro do contexto), a segunda não justifica a primeira logicamente.

Conclusão:
Ambas as afirmações contêm elementos verdadeiros sobre os números racionais e irracionais, mas a conexão lógica proposta pelo aluno ("PORQUE") está invertida, tornando a justificativa incorreta.

Alternativa B