Assinale a opção que apresenta o valor da característica (ρ) da matriz A = [log₃27 log₁₀1000 log₂8 ] [log₃243 log₁₀10000 log₂32 ] [log₃81 log₁₀1000 log₂16 ]

Alternativa B

Para encontrar a resposta correta, precisamos calcular os valores dos elementos da matriz e determinar sua característica, que neste contexto refere-se ao posto (número de linhas ou colunas linearmente independentes).

Cálculo dos Elementos

Primeiro, simplificamos cada termo logarítmico usando as propriedades fundamentais:

• Coluna 1 (base 3):
• \log_3 27 = 3 (pois $3^3 = 27$)
• \log_3 243 = 5 (pois $3^5 = 243$)
• \log_3 81 = 4 (pois $3^4 = 81$)
• Coluna 2 (base 10 implícita):
• \log 1000 = 3 (pois $10^3 = 1000$)
• \log 100000 = 5 (pois $10^5 = 100000$)
• \log 10000 = 4 (pois $10^4 = 10000$)
• Coluna 3 (base 2):
• \log_2 8 = 3 (pois $2^3 = 8$)
• \log_2 32 = 5 (pois $2^5 = 32$)
• \log_2 16 = 4 (pois $2^4 = 16$)

Análise da Matriz

Substituindo os valores calculados, a matriz A torna-se:

Observe que todas as linhas são proporcionais entre si. Elas podem ser escritas como múltiplos do vetor [1, 1, 1]:

• Linha 1: $3 \cdot [1, 1, 1]$
• Linha 2: $5 \cdot [1, 1, 1]$
• Linha 3: $4 \cdot [1, 1, 1]$

Como todas as linhas são linearmente dependentes, existe apenas 1 linha linearmente independente na matriz. Portanto, o posto (ou característica P) da matriz é igual a 1.

Alternativa B.