Atualmente, no Teatro São Jorge, um grupo musical se apresenta diariamente. A presença do público se dá em função, principalmente, do preço do ingresso. A capacidade máxima do teatro é de 800 pessoas e quando o preço do ingresso é R$ 90,00, o comparecimento, em média é de 300 pessoas. Dados estatísticos indicam que a cada R$ 10,00 de redução no preço do ingresso verifica-se, em média, um aumento de 100 pessoas no público presente. Com estes dados, conclui-se que a receita máxima, em média, obtida em uma apresentação musical é de

Alternativa B - R$ 36 000,00

Análise do Problema

Este é um problema clássico de otimização com função quadrática. O objetivo é encontrar o ponto de máximo da receita, que depende do preço e da quantidade de público.

Montagem das Equações

Vamos definir uma variável para representar as reduções de preço:

Equações:

• Preço: P(x) = 90 - 10x
• Público: A(x) = 300 + 100x
• Receita: R(x) = P(x) \times A(x)

Desenvolvimento da Função Receita

Substituindo nas equações:

Expandindo:
R(x) = 27000 + 9000x - 3000x - 1000x^2
R(x) = -1000x^2 + 6000x + 27000

Esta é uma função quadrática com coeficiente a < 0, portanto abre-se para baixo e tem máximo no vértice.

Cálculo do Vértice

Para encontrar o valor de x que maximiza a receita, usamos a fórmula do vértice:

Onde:

• a = -1000
• b = 6000

Verificação da Capacidade Máxima

Com x = 3:

• Público: A(3) = 300 + 100 \times 3 = 600 \text{ pessoas}
• Capacidade do teatro: 800 pessoas

Como 600 ≤ 800, a solução é viável.

Cálculo da Receita Máxima

Conclusão

A receita máxima é R$ 36 000,00, correspondendo à Alternativa B.