Alternativa D - 54
Análise da Questão
O problema pede para maximizar o número de casas marcadas como "Casinhas" em um tabuleiro $8 \times 8$, respeitando a regra de que todo subtabuleiro $3 \times 3$ deve conter pelo menos uma casa de cada uma das três cidades.
1. Entendendo a Restrição
Para maximizar "Casinhas", devemos minimizar o número de casas das outras duas cidades (Tacaratu e Passira).
A regra diz que em qualquer bloco de $3 \times 3$, deve haver pelo menos 1 Tacaratu e 1 Passira.
Isso significa que as posições das cidades Tacaratu e Passira precisam funcionar como uma "rede de proteção" que cobre todos os possíveis subtabuleiros $3 \times 3$.
2. Estratégia de Cobertura
Imagine as linhas numeradas de 1 a 8. Para garantir que qualquer faixa de 3 linhas consecutivas (como linhas 1-2-3, 2-3-4, etc.) contenha uma casa marcada, precisamos escolher linhas estratégicas.
Existem três formas principais de escolher linhas que garantem essa cobertura (cada grupo tem pelo menos um número em qualquer sequência de 3 números de 1 a 8):
- Grupo 1: Linhas \{1, 4, 7\} (distância de 3)
- Grupo 2: Linhas \{2, 5, 8\} (distância de 3)
- Grupo 3: Linhas \{3, 6\} (distância de 3, mas começa no 3)
O Grupo 3 é o mais econômico, pois possui apenas 2 linhas. O Grupo 1 e 2 possuem 3 linhas.
Para garantir que um subtabuleiro $3 \times 3$ tenha uma cidade, basta que essa cidade esteja posicionada na interseção de uma linha "coberta" e uma coluna "coberta".
3. Construindo o Cenário Ótimo
Queremos usar o mínimo de casas possível para Tacaratu e Passira, mantendo-as separadas (uma casa não pode ser duas cidades).
Configuração para Tacaratu:
Usamos o conjunto mais econômico (Grupo 3) tanto para linhas quanto para colunas.
- Linhas: \{3, 6\}
- Colunas: \{3, 6\}
- Casas Tacaratu: $2 \text{ linhas} \times 2 \text{ colunas} = \mathbf{4 \text{ casas}}$.
(Essas 4 casas garantem que todo subgrid $3 \times 3$ tenha um Tacaratu).
Configuração para Passira:
Precisamos de outro conjunto de cobertura que não se sobreponha ao Tacaratu.
- Podemos usar as mesmas linhas \{3, 6\} (já cobrem verticalmente).
- Para as colunas, usamos o Grupo 1: \{1, 4, 7\}. Como as colunas \{3, 6\} e \{1, 4, 7\} não têm números em comum, não haverá sobreposição de casas.
- Casas Passira: $2 \text{ linhas} \times 3 \text{ colunas} = \mathbf{6 \text{ casas}}$.
4. Cálculo Final
- Total de casas no tabuleiro: $8 \times 8 = 64$
- Casas ocupadas por Tacaratu: 4
- Casas ocupadas por Passira: 6
- Total de casas não-Casinhas: $4 + 6 = 10$
- Máximo de casas Casinhas: $64 - 10 = \mathbf{54}$
Portanto, o número máximo de casas que podem ser marcadas com o nome Casinhas é 54.
Alternativa D.