Na pirâmide numérica, cada número da base é a soma dos números das duas casas imediatamente inferiores. A soma dos números das casas da base é 17. Qual é o número localizado na casa central da base?

Alternativa C

Para resolver este problema, utilizaremos as propriedades de somas em pirâmides numéricas, que seguem padrões relacionados aos coeficientes binomiais (semelhantes ao Triângulo de Pascal).

Análise do Problema

Definimos os números da base (última linha) como x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, onde x_3 é o número central que queremos encontrar.

O enunciado fornece três informações principais:

1. Regra de formação: Cada caixa é a soma das duas abaixo dela.
2. Soma da base: x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 17.
3. Valor no topo: O número na primeira linha é $61$.
4. Valor intermediário: O número central da terceira linha é $16$.

Desenvolvimento Matemático

Podemos expressar o valor do topo da pirâmide em função dos valores da base usando os coeficientes binomiais para uma base de 5 elementos ($1, 4, 6, 4, 1$):

Sabemos também que a soma total da base é:
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 17

Subtraindo a equação da soma da base da equação do topo, isolamos termos com coeficientes maiores:
(4x_2 - x_2) + (6x_3 - x_3) + (4x_4 - x_4) = 61 - 17
3x_2 + 5x_3 + 3x_4 = 44
3(x_2 + x_4) + 5x_3 = 44 \quad (*)

Agora, analisamos o valor 16 encontrado na terceira linha (central). Ele é formado pela soma de dois elementos da quarta linha, que por sua vez são somas da base. Especificamente:

• O elemento da 4ª linha à esquerda do centro é (x_2 + x_3).
• O elemento da 4ª linha à direita do centro é (x_3 + x_4).

Portanto, o valor 16 é dado por:
(x_2 + x_3) + (x_3 + x_4) = 16
x_2 + 2x_3 + x_4 = 16
x_2 + x_4 = 16 - 2x_3 \quad (**)

Substituímos a expressão (**) na equação (*):
3(16 - 2x_3) + 5x_3 = 44
48 - 6x_3 + 5x_3 = 44
48 - x_3 = 44
x_3 = 48 - 44
x_3 = 4

Conclusão

O número localizado na casa central da base é 4, o que corresponde à alternativa (c).