Com o intuito de construir um jogo novo, foram colocados sobre um tabuleiro de xadrez grãos de arroz da seguinte maneira: na primeira casa, foram colocados 5 grãos; na segunda, 10; na terceira, 15; e assim por diante. Quantos grãos de arroz foram usados nesse tabuleiro?

Resolução da Questão

O problema descreve uma situação que pode ser modelada matematicamente como uma Progressão Aritmética (PA). O objetivo é calcular o número total de grãos de arroz distribuídos por todas as casas de um tabuleiro de xadrez.

Análise Matemática

1. Identificação do Modelo:

• O número de grãos aumenta de forma constante em cada casa sucessiva.
• 1ª casa: 5 grãos
• 2ª casa: 10 grãos
• 3ª casa: 15 grãos
• Este é um padrão de Progressão Aritmética.

1. Parâmetros da Sequência:

• Primeiro termo (a_1): 5
• Razão (r): A diferença entre os termos consecutivos ($10 - 5 = 5$).
• Número de termos (n): Um tabuleiro de xadrez possui $8 \times 8$ casas, logo, n = 64.

1. Cálculo do Último Termo (a_{64}):
   Para saber quantos grãos havia na última casa, usamos a fórmula do termo geral:
   a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r
   a_{64} = 5 + (64 - 1) \cdot 5
   a_{64} = 5 + 63 \cdot 5
   a_{64} = 5 + 315
   a_{64} = 320 \text{ grãos}
2. Cálculo da Soma Total (S_{64}):
   Para encontrar o total de grãos, somamos todos os termos da progressão usando a fórmula da soma:
   S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}
   S_{64} = \frac{(5 + 320) \cdot 64}{2}
   S_{64} = \frac{325 \cdot 64}{2}
   S_{64} = 325 \cdot 32
   S_{64} = 10.400

Análise Detalhada

• Padrão Observado: Os valores formam uma sequência de múltiplos de 5 ($5 \times 1, 5 \times 2, 5 \times 3, \dots$).
• Fator Determinante: O tamanho do tabuleiro (64 casas) é crucial para determinar o último termo e a quantidade de parcelas na soma.
• Verificação Rápida: A soma dos inteiros de 1 a 64 é \frac{64 \times 65}{2} = 2080. Multiplicando por 5 (fator comum), temos $2080 \times 5 = 10.400$. O resultado confirma o cálculo anterior.

Conclusão

O total de grãos de arroz utilizados para preencher o tabuleiro segundo a regra descrita é 10.400.