Coloque em ordem a demonstração que a desigualdade na sentença aberta P(n) : 2ⁿ > n² é verdadeira para todo número natural n ≥ 5.

Alternativa B

O objetivo da questão é ordenar corretamente as etapas de uma demonstração matemática, especificamente utilizando o método de indução ou lógica sequencial para provar a desigualdade $2^n > n^2$ para n \ge 5.

Para organizar um raciocínio lógico-matemático, devemos seguir a estrutura clássica de demonstração:

1. Verificação do Caso Base: Confirmar que a propriedade vale para o primeiro valor do domínio considerado.
2. Hipótese de Indução: Assumir que a propriedade é verdadeira para um número genérico n.
3. Desenvolvimento Algébrico: Realizar manipulações necessárias para conectar o passo atual ao próximo.
4. Conclusão: Demonstrar que a propriedade vale para o próximo número (n+1).

Análise das Etapas

Vamos analisar cada item numerado para entender sua função na sequência lógica:

• Item 1: "Note que P(1)... P(5) é verdadeira."
• Esta etapa estabelece o caso base. Ela verifica explicitamente onde começa a validade da desigualdade (n=5), descartando valores anteriores. É o ponto de partida obrigatório de qualquer prova sobre um conjunto numérico específico.
• Item 2: "Seja n \ge 5 tal que $2^n > n^2$. Multiplicando ambos os lados... obtemos $2^{n+1} > 2n^2$."
• Esta etapa inicia o passo indutivo. Assume-se a verdade para n (hipótese) e aplica-se uma operação básica (multiplicar por 2) para preparar o terreno para a comparação com n+1. Deve vir após a verificação do caso base.
• Item 3: "Note que $2n^2 > (n + 1)^2$, se n \ge 3..."
• Esta etapa fornece a desigualdade auxiliar necessária. Para concluir a prova, precisamos saber que $2n^2$ é maior que (n+1)^2. Isso serve como a "ponte" entre o resultado do item 2 e o objetivo final. Deve vir antes da conclusão final.
• Item 4: "Daí, deduzimos que $2^{n+1} > (n + 1)^2$, o que significa que P(n + 1) é verdadeira."
• Esta é a conclusão. Usa-se o resultado do item 2 ($2^{n+1} > 2n^2$) e do item 3 ($2n^2 > (n+1)^2$) para afirmar, pela transitividade da desigualdade, que $2^{n+1} > (n+1)^2$. O termo "Daí" indica que esta frase encerra a cadeia de raciocínio.

Conclusão

A ordem lógica correta para a construção da demonstração é:

1. Verificar o início (n=5) -> Item 1
2. Partir da hipótese e multiplicar -> Item 2
3. Comprovar a relação intermediária ($2n^2 > (n+1)^2$) -> Item 3
4. Concluir a implicação para n+1 -> Item 4

Portanto, a sequência é 1 - 2 - 3 - 4, correspondendo à Alternativa B.