Com os algarismos de 1 a 9, quantos são os números de 4 algarismos DIFERENTES que podemos formar, sabendo-se que necessariamente devemos usar pelo menos um algarismo 2 ou um algarismo 5?

Alternativa E

Para resolver este problema de contagem, utilizaremos o método conhecido como Contagem Complementar. É geralmente mais simples calcular o total de possibilidades e subtrair aquelas que não satisfazem a condição exigida.

Introdução

O enunciado pede para formar números de 4 algarismos diferentes usando os dígitos de 1 a 9, com a restrição de que pelo menos um deles deve ser o número 2 ou o número 5.

Desenvolvimento

1. Calcular o Total de Possibilidades
Primeiro, imaginamos que não existe nenhuma restrição sobre os algarismos 2 e 5.

• Temos 9 algarismos disponíveis (\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}).
• Precisamos preencher 4 posições.
• Como a ordem dos algarismos importa na formação de um número (ex: 1234 é diferente de 4321), usamos Arranjo Simples.
• Fórmula matemática: A^9_4

2. Calcular os Casos "Proibidos" (Complemento)
A regra diz que devemos ter "pelo menos um 2 ou um 5". O caso oposto (o que queremos evitar) é formar números onde nem o 2 nem o 5 apareçam.

• Se retirarmos o 2 e o 5 do conjunto original, restam apenas 7 algarismos (\{1, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}).
• Continuamos formando números de 4 algarismos diferentes com esse novo grupo menor.
• Fórmula matemática: A^7_4

3. Aplicar o Princípio da Subtração
Para encontrar a quantidade exata de números válidos, subtraímos os casos proibidos do total geral:
\text{Total Válido} = \text{Total Possível} - \text{Sem o 2 e Sem o 5}
\text{Resultado} = A^9_4 - A^7_4

Análise das Alternativas

• A: Representa apenas o cálculo do total de números, ignorando a restrição.
• C e D: Utilizam o símbolo C (Combinação). A combinação não considera a ordem dos elementos, mas para formar números, a ordem é fundamental. Portanto, deve-se usar Arranjo (A).
• E: Apresenta a fórmula correta derivada acima: A^9_4 - A^7_4.

Conclusão

A alternativa correta é a E, pois ela representa corretamente o total de arranjos de 4 algarismos distintos retirados de 9, menos os arranjos formados apenas pelos 7 algarismos restantes (excluindo 2 e 5).