Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (L) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão L(q) = FT(q) - CT(q). Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?

Alternativa D

Para encontrar a quantidade mínima de produtos necessária para que a empresa não tenha prejuízo, precisamos calcular o ponto onde o lucro é igual ou superior a zero. Isso envolve utilizar as funções de faturamento e custo fornecidas no enunciado.

A equação do lucro L(q) é definida pela diferença entre o faturamento (FT) e o custo (CT):

Substituindo os valores dados na questão:

• Faturamento: FT(q) = 5q
• Custo Total: CT(q) = 2q + 12

Temos então:
L(q) = 5q - (2q + 12)
L(q) = 5q - 2q - 12
L(q) = 3q - 12

Análise

Para que não haja prejuízo, o lucro deve ser maior ou igual a zero (L(q) \geq 0). Vamos resolver a inequação:

• Condição de equilíbrio: $3q - 12 \geq 0$
• Isolando a variável: $3q \geq 12$
• Divisão: q \geq \frac{12}{3}
• Resultado: q \geq 4

Isso significa que a partir da produção de 4 unidades, a empresa começa a obter lucro ou, no mínimo, empata sem prejuízo. Abaixo disso, ela teria prejuízo devido ao custo fixo de 12.

Portanto, a menor quantidade inteira que satisfaz a condição é 4.

Alternativa D.