Como matemático, você é convidado a analisar as propriedades das funções específicas para aplicá-las em sistemas de controle. Uma função em estudo é f(x) = 2x + 1, definida para o conjunto dos números reais. Sua tarefa é determinar a classificação correta dessa função em termos de injeção, sobrejeção ou bijeção, baseando-se no comportamento de mapeamento de elementos de seu domínio e contradomínio.

Alternativa C

A questão solicita a análise das propriedades de uma função afim f(x) = 2x + 1, onde o domínio e o contradomínio são os números reais (\mathbb{R}). Para responder corretamente, devemos examinar separadamente se a função é injetora e sobrejetora.

Análise Detalhada

Para entendermos por que a função satisfaz ambas as propriedades, vamos revisar os conceitos fundamentais:

• Injetividade: Uma função é injetora se elementos distintos do domínio geram imagens distintas. Em termos gráficos, qualquer reta horizontal intersecta o gráfico no máximo uma vez.
• Sobrejetividade: Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido pela função. Ou seja, o Conjunto Imagem é igual ao Contradomínio.

Abaixo, verificamos essas propriedades matematicamente para f(x) = 2x + 1:

• Teste de Injeção:
  Suponha f(x_1) = f(x_2).
  2x_1 + 1 = 2x_2 + 1
  2x_1 = 2x_2
  x_1 = x_2
  Como a igualdade das imagens implica na igualdade das origens, a função é injetora.
• Teste de Sobrejeção:
  Queremos saber se para qualquer y \in \mathbb{R} existe um x \in \mathbb{R} tal que f(x) = y.
  y = 2x + 1
  x = \frac{y - 1}{2}
  Como podemos encontrar um valor real x para qualquer valor real y, o conjunto imagem é igual ao conjunto dos reais (\text{Im} = \mathbb{R}). Logo, a função é sobrejetora.

Conclusão

Como a função f(x) = 2x + 1 é tanto injetora quanto sobrejetora, a classificação correta corresponde à definição de função bijetora. Entre as opções apresentadas, a única que afirma corretamente essas duas características simultâneas é a letra C.

Portanto, a alternativa correta é a C.