Considerando a função y = |x|, representada gráfico a seguir, analise as afirmações: I. Na função y = |x|, x = 0 é um ponto de descontinuidade, o que torna a função descontínua. II. Na função y = |x| não existem pontos de descontinuidade, ou seja, |x| é contínua III. A função y = |x| é contínua em x = 0. IV. O lim(x) |x| ≠ 0. x→0

Alternativa C - Apenas II e III estão corretas.

Análise Detalhada

Para resolver esta questão, precisamos entender o conceito de continuidade de funções e analisar o comportamento da função módulo y = |x| especificamente no ponto x = 0.

1. Conceito de Continuidade

Uma função f(x) é considerada contínua em um ponto a se três condições forem satisfeitas simultaneamente:

1. A função está definida no ponto (f(a) existe).
2. O limite da função quando x tende a a existe (\lim_{x \to a} f(x) existe).
3. O valor do limite é igual ao valor da função (\lim_{x \to a} f(x) = f(a)).

Se essas condições falharem, temos uma descontinuidade. Visualmente, isso significa que podemos traçar o gráfico sem levantar o lápis do papel.

2. Análise da Função y = |x| no Ponto x = 0

Vamos verificar as condições matematicamente para o ponto x = 0:

• Valor da função:
  f(0) = |0| = 0
  A função está definida e vale 0.
• Limite Lateral Direito (x \to 0^+):
  Quando x é positivo, |x| = x.
  \lim_{x \to 0^+} |x| = 0
• Limite Lateral Esquerdo (x \to 0^-):
  Quando x é negativo, |x| = -x.
  \lim_{x \to 0^-} |x| = 0

Como os limites laterais são iguais ($0 = 0$), o limite existe e é igual a 0. Além disso, ele é igual ao valor da função f(0). Portanto, a função é contínua em x=0.

3. Verificação das Afirmações

Agora vamos analisar cada item proposto na questão:

• I. "Na função y = |x|, x = 0 é um ponto de descontinuidade..."
• FALSO. Acabamos de demonstrar que a função é contínua em x=0. O gráfico não apresenta "buracos" ou saltos.
• II. "Na função y = |x| não existem pontos de descontinuidade, ou seja, |x| é contínua em toda parte."
• VERDADEIRO. A função módulo é composta por duas retas (y=x e y=-x) que se encontram perfeitamente no vértice. Ela é contínua para todo número real (\mathbb{R}).
• III. "A função y = |x| é contínua em x = 0."
• VERDADEIRO. Esta é a confirmação direta do cálculo feito acima. O limite coincide com a função.
• IV. "$\lim_{x \to 0} |x| \neq 0$"
• FALSO. O limite calculado é exatamente 0.

Conclusão

As únicas afirmações verdadeiras são a II e a III. Portanto, a alternativa correta é a letra c.