Considerando o seguinte número complexo em coordenadas polares: x = 5√2.e^(iπ/4) passar o mesmo para coordenadas retangulares (cartesianas):

Alternativa B

A questão solicita a conversão de um número complexo da forma exponencial (coordenadas polares) para a forma algébrica (coordenadas retangulares ou cartesianas).

Análise do Problema

O número complexo fornecido é:
x = 5\sqrt{2} \cdot e^{j\frac{3\pi}{4}}

Para resolver, utilizamos a Fórmula de Euler, que relaciona a forma exponencial com a forma trigonométrica:
r \cdot e^{j\theta} = r(\cos \theta + j\sin \theta)

No nosso caso:

• Módulo (r): $5\sqrt{2}$
• Argumento (\theta): \frac{3\pi}{4} (que equivale a $135^\circ$, localizado no 2º quadrante)

Passo a Passo do Cálculo

Substituindo os valores na fórmula:

1. Aplicar a identidade de Euler:
   x = 5\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + j\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right)
2. Determinar os valores trigonométricos:
   No segundo quadrante, o cosseno é negativo e o seno é positivo.

• \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
• \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}

1. Multiplicar pelo módulo:

• Parte Real: $5\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -5 \cdot \frac{2}{2} = -5$
• Parte Imaginária: $5\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 5 \cdot \frac{2}{2} = +5$

Conclusão

O resultado da conversão é:
x = -5 + j5

Isso corresponde exatamente à Alternativa B.