Alternativa A
Para resolver esta questão, precisamos converter o número complexo da forma retangular (z = a + jb) para a forma polar/exponencial (z = r e^{j\theta}).
Passo a Passo da Resolução
1. Identificar os dados:
O número complexo dado é x = 5 + j2.
Isso significa que:
- Parte real (a) = $5$
- Parte imaginária (b) = $2$
2. Calcular o módulo (r):
O módulo representa a distância da origem até o ponto no plano complexo. A fórmula é:
r = \sqrt{a^2 + b^2}
Substituindo os valores:
r = \sqrt{5^2 + 2^2}
r = \sqrt{25 + 4}
r = \sqrt{29}
Calculando a raiz quadrada de 29:
r \approx 5,385
Arredondando para duas casas decimais, obtemos 5,38.
(Isso já nos ajuda a eliminar as alternativas D e E, que apresentam módulo 4,57).
3. Calcular o argumento (\theta):
O argumento é o ângulo formado pelo vetor com o eixo horizontal real. A fórmula é:
\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
Como ambas as partes são positivas ($5$ e $2$), o ângulo está no primeiro quadrante (positivo).
\theta = \arctan\left(\frac{2}{5}\right) = \arctan(0,4)
Convertendo para graus (usando calculadora):
\theta \approx 21,80^\circ
Convertendo para radianos (multiplicando por \frac{\pi}{180}):
\theta_{rad} = 21,80 \times \frac{\pi}{180} \approx 0,121\pi
Arredondando, temos $0,12\pi$.
Conclusão
Montando a expressão na forma x = r e^{j\theta}:
x = 5,38 e^{j21,80^\circ} = 5,38 e^{j0,12\pi}
Comparando com as opções apresentadas na imagem:
- Alternativa A: Corresponde exatamente aos cálculos realizados ($5,38$ e $21,80^\circ$).
- Alternativa B: Apresenta módulo incorreto e ângulo negativo.
- Alternativa C: Apresenta módulo correto, mas ângulo incorreto ($44^\circ$ seria para \tan(\theta) \approx 1).
- Alternativas D e E: Apresentam módulo incorreto ($4,57$).
Portanto, a resposta correta é a Alternativa A.