Considere a equação 5(cos(θ))² – 11 cos(θ) + 2 = 0. θ ∈ ℝ. Determine o valor de cos(θ), sen(θ) e tg(θ).

Resumo da resposta

O valor de \cos(\theta) é \frac{1}{5}. Considerando as propriedades trigonométricas sem restrição de quadrante, os valores possíveis para \sin(\theta) são \pm \frac{2\sqrt{6}}{5} e para \text{tg}(\theta) são \pm 2\sqrt{6}.

Resolução Passo a Passo

A questão apresenta uma equação trigonométrica que pode ser resolvida utilizando técnicas de álgebra, tratando a função cosseno como uma incógnita.

Primeiramente, realizamos uma substituição para simplificar a visualização da equação. Sejam x = \cos(\theta), a equação original transforma-se em uma equação do segundo grau padrão:
5x^2 - 11x + 2 = 0

Para encontrar os valores de x, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Onde o discriminante \Delta é calculado da seguinte forma:
\Delta = (-11)^2 - 4(5)(2) = 121 - 40 = 81

Como \sqrt{81} = 9, as duas raízes encontradas são:
x' = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2
x'' = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}

Análise

Nesta etapa, é fundamental validar matematicamente as raízes encontradas com base nas propriedades das funções trigonométricas.

• Validação do Cosseno: O valor do cosseno de qualquer ângulo real \theta deve pertencer ao intervalo fechado [-1, 1].
• A raiz x' = 2 é inválida, pois $2 > 1$.
• A raiz x'' = \frac{1}{5} é válida, pois |\frac{1}{5}| < 1.
• Portanto, concluímos que $\cos(\theta) = \frac{1}{5}$.
• Cálculo do Seno: Utilizamos a identidade fundamental da trigonometria \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1.
  \sin^2(\theta) + \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1
  \sin^2(\theta) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}
  \sin(\theta) = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}
  Obs: O sinal \pm aparece porque não foi informado em qual quadrante o ângulo \theta está.
• Cálculo da Tangente: A tangente é definida como a razão entre o seno e o cosseno.
  \text{tg}(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\pm \frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}
  Simplificando a fração composta, obtemos:
  \text{tg}(\theta) = \pm 2\sqrt{6}

Conclusão

A resolução correta exige combinar métodos algébricos (equação do 2º grau) com restrições do domínio das funções trigonométricas. Ao descartar a raiz impossível, isolamos o valor do cosseno e derivamos os demais valores trigonométricos através das relações fundamentais.